ГлавнаяБлогЗадачи по математике

СУНЦ МГТУ, 10 кл. (2004), ч. 1

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана
Специализированный учебно-научный центр
Математика

 Вариант 10-0431

  1. Цену товара снизили первоначально на 20%, затем новую цену снизили ещё на 30% и, наконец, после пересчета произвели снижение на 50%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?
  2. Упростите при всех допустимых значениях переменной x:
  3. Решите уравнение: |x2 + 4x – 21| – 8x = 11
  4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 10, а косинус одного из острых углов равен 3/5. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.
  5. Упростите выражение и вычислите его значение при α = π / 4:
    –ctg2(α – π) – sin2(α – 3π / 2) – cos2(π / 2 + α).
  6. Решите систему неравенств:
  7. Сумма четырех первых членов арифметической прогрессии равна 56. Сумма четырех последних членов равна 112. Найдите число членов прогрессии, если её первый член равен 11.
  8. Найдите все значения параметра a, при которых один из корней уравнения x2 + ax – 4a + 16 = 0 на 4 больше другого.
  9. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 3 см. Меньшее основание трапеции равно 4 см. Найдите остальные стороны трапеции.
  10. В равнобедренном треугольнике с основанием, равным 4 см, и высотой, равной 6 см, на боковой стороне, как на диаметре, построен полукруг. Точки его пересечения с основанием и другой боковой стороной соединены. Определите площадь получившегося четырехугольника.

Вариант 10-0432

  1. В библиотеке имеются книги на английском, французском и немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг на иностранных языках, французские – 75% английских, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке?
  2. Упростите при всех допустимых значениях переменной x:
  3. Решите уравнение: |x2 + 7x – 18| – 6 = 5x.
  4. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведены медиана CM и высота CH. Найдите отношение AH : AM, если CM : CH = 5 : 4 и точка H находится между точками A и M.
  5. Упростите выражение и вычислите его значение при α = π / 3:
  6. Решите систему неравенств:
  7. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно 14/3. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
  8. Найдите все значения параметра a, при которых корни уравнения x2 + 2ax + 2a – 1 = 0 связаны соотношением x1 : x2 = 3 : 1.
  9. Средняя линия равнобокой трапеции, описанной около круга, равна 68. Найдите радиус этого круга, если нижнее основание трапеции больше верхнего на 64.
  10. На стороне AB треугольника ABC, как на диаметре, построен круг, который пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Найдите угол CBD, если площади треугольников DCE и ABC относятся как 1 : 4.

Вариант 10-0433

  1. На товар снизили цену на 20%, а затем ещё на 15%. При этом он стал стоить 23,8 рублей. Какова была первоначальная цена товара?
  2. Упростите при всех допустимых значениях переменной x:
  3. Решите уравнение: |x2 + 3x – 28| = 5x – 4.
  4. Высота и медиана прямоугольного треугольника, проведенные к гипотенузе, образуют угол в 30°. Радиус окружности, описанной около данного треугольника, равен 10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
  5. Упростите выражение и вычислите его значение при α = π / 6:
    ctg2(π / 2 – α) + sin2(α – 7π / 2) + sin2(α – π).
  6. Решите систему неравенств:
  7. В возрастающей геометрической прогрессии, состоящей из шести членов, сумма первого и последнего равна 66, произведение второго и пятого членов равно 128. Найдите сумму всех членов.
  8. Найдите все значения параметра a, при которых один из корней квадратного уравнения x2 – (2a + 1)x + 2a = 0 в два раза больше другого.
  9. Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию, отстоит от концов боковой стороны на 2 см и 4 см. Найдите площадь трапеции.
  10. Полукруг, построенный на боковой стороне AB равнобедренного треугольника ABC (AB = BC), как на диаметре, пересекает другую боковую сторону в точке K, а основание — в точке D. Длина DC равна 3, а высота, проведенная к боковой стороне — . Найдите, какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника BAK.

Вариант 10-0434

  1. На вступительном экзамене по математике 15% поступающих не решили ни одной задачи, 144 человека решили задачи с ошибками, а число решивших все задачи верно относится к числу не решивших ни одной задачи, как 5 : 3. Сколько человек сдавали экзамен по математике?
  2. Упростите при всех допустимых значениях переменной x:
  3. Решите уравнение: |2x2 + x – 1| + 5x = 7.
  4. Радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник, равен 2 см., а описанного около него — 5 см. Найдите площадь треугольника.
  5. Упростите выражение и вычислите его значение при α = π / 4:
  6. Решите систему неравенств:
  7. Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если из первых двух членов этой прогрессии вычесть по единице, а к третьему числу прибавить единицу, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите сумму 10 первых членов арифметической прогрессии.
  8. Найдите значения параметра a, при котором один из корней уравнения x2 – (2a + 1)x + a2 + 2 = 0 на три меньше другого.
  9. Равнобокая трапеция описана около круга. Боковая сторона делится точкой касания на отрезки длиной 12 и 48. Найдите площадь трапеции.
  10. На стороне АВ треугольника ABC, как на диаметре, построен круг, который пересекает стороны BC и AC в точках M и N соответственно. Угол BCA равен 60°. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь четырехугольника ABMN?

Вариант 10-0435

  1. Завод в этом году произвел на 25% изделий больше, чем в прошлом, а затраты на производство за тот же период возросли на 10%. На сколько процентов изменилась за год себестоимость одного изделия?
  2. Упростите при всех допустимых значениях переменной x:
  3. Решите уравнение: |x2 + 3x – 28| = 5x – 4.
  4. Радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а описанного около него — 5 см. Найдите площадь треугольника.
  5. Упростите выражение и вычислите его значение при α = π / 4:
    –ctg2(α – π) – sin2(α – 3π / 2) – cos2(π / 2 + α).
  6. Решите систему неравенств:
  7. В возрастающей геометрической прогрессии, состоящей из шести членов, сумма первого и последнего равна 66, произведение второго и пятого членов равно 128. Найдите сумму всех членов.
  8. Найдите значения параметра a, при котором один из корней уравнения x2 – (2a + 1)x + a2 + 2 = 0 на три меньше другого.
  9. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 3 см. Меньшее основание трапеции равно 4 см. Найдите остальные стороны трапеции.
  10. На стороне AB треугольника ABC, как на диаметре, построен круг, который пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Найдите угол CBD, если площади треугольников DCE и ABC относятся как 1 : 4.

Вариант 10-0436

  1. В марте завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в апреле выпустил продукции на 4% больше, чем в марте. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска готовой продукции?
  2. Упростите при всех допустимых значениях переменной x:
  3. Решите уравнение: |x2 + 7x – 18| – 6 = 5x.
  4. Высота и медиана прямоугольного треугольника, проведенные к гипотенузе, образуют угол в 30°. Радиус окружности, описанной около данного треугольника, равен 10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
  5. Упростите выражение и вычислите его значение при α = π / 4:
  6. Решите систему неравенств:
  7. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно 14/3. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
  8. Найдите значения параметра a, при котором один из корней уравнения x2 – (2a + 1)x + a2 + 2 = 0 на три меньше другого.
  9. Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию, отстоит от концов боковой стороны на 2 см и 4 см. Найдите площадь трапеции.
  10. На стороне АВ треугольника ABC, как на диаметре, построен круг, который пересекает стороны BC и AC в точках M и N соответственно. Угол BCA равен 60°. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь четырехугольника ABMN?


Ответы

Вариант № 10-0431
  1. 72%
  2. –1 при x ≥ 0, x ≠ 9
  4. 4
  5. –1 / sin2α; –2
  6. {–1}U[2; 7/2]
  7. 11
  8. {–20; 4}
  9. 6 см, 10 см, 12 см
  10. 10,8 см2
Вариант № 10-0432
  1. 500
  2. 4 при x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 1/9
  4. 2/5
  5. ctg2α, 1/3
  6. {–7}U[–7 / 3; 4]
  7. b1 = 2; q = 2 или b1 = 8; q = 1/2
  8. {2/3; 2}
  9. 30 ед.
  10. 30°
Вариант № 10-0433
  1. 35 р.
  2. 9 при x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 1/4
  5. 1/cos2α; 4/3
  6. {–3}U[1/2; 5]
  7. 126
  8. {1/4; 1}
  9. 14,4 см2
  10. 7/9
Вариант № 10-0434
  1. 240
  2. –1 при x ≥ 0, x ≠ 16, x ≠ 25
  3. {–4; 1}
  4. 24 см2
  5. tg2α, 1
  6. {–4}U[–1/2; 3]
  7. 120
  8. 4
  9. 2880 кв.ед.
  10. 3/4
Вариант № 10-0435
  1. понизилась на 12%
  2. 4 при x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 1/9
  4. 24 см2
  5. –1/sin2α; –2
  6. {–7}U[–7/3; 4]
  7. 126
  8. 4
  9. 6 см, 10 см, 12см
  10. 30°
Вариант № 10-0436
  1. на 7,1%
  2. –1 при x ≥ 0, x ≠ 9
  5. tg2α; 1
  6. {–3}U[1/2; 5]
  7. b1 = 2; q = 2 или b1 = 8; q = 1/2
  8. {–20; 4}
  9. 14,4 см2
  10. 3/4

Ваш репетитор
Ваш репетитор

8 (495) 540-56-76

Москва

© Repetitors.info, 2012-2024

Выберите город