Задачник по арифметике и самой элементарной алгебре для учащихся 6 и 7 классов

Это — задачник по арифметике и самой элементарной алгебре. Он написан мной в 1998-1999 гг. для учащихся 6 и 7 классов Классической гимназии при Греко-латинском кабинете Ю.А. Шичалина. Цель — учить школьников обращаться с дробями и уравнениями. Впоследствии оказалось, что многие задачи представляют интерес для восьми- и девятиклассников, а также для абитуриентов, успевших позабыть, что такое дроби и как составляются уравнения :). Все задачи за единичными исключениями (которые суть общеизвестная классика) являются авторскими. Трудные задачи отмечены звездочками.

I. Никаких уравнений!

По кольцевой линии метро ходят 9 поездов с интервалом 4 минуты. С каким интервалом будут ходить по ней 12 поездов?
6 косцов скашивают луг за 10 часов. Нужно скосить луг за 4 часа. Сколько для этого потребуется косцов?
Треть кирпича на полкилограмма легче, чем полкирпича. Сколько весит кирпич?
Полкурицы за полдня сносит пол-яйца. Сколько яиц снесут полторы курицы за день?
Миша вскапывает грядку за 15 минут, Гриша — за 30 минут. За какое время они вдвоем вскопают эту грядку?
Широкая труба наполняет бассейн за полчаса, узкая — за два с половиной часа. За какое время наполнят бассейн обе трубы, работая вместе?
В одиночку мастер выполняет работу за 4 часа, а вместе с учеником — за 3 часа. За какое время сможет выполнить эту работу один ученик?
Лошадь и овца съедают запас сена за 8 дней. Лошадь в одиночку съедает его за 12 дней. За сколько дней съест запас сена одна овца?
Бак наполняется водой из крана за полчаса. Через небольшое отверстие для стока вода из полного бака выливается за полтора часа. Однажды начали наполнять бак, забыв заткнуть отверстие. За какое время он наполнится?
Одна бригада рабочих может построить дом за месяц, другая — за два месяца, третья — за три месяца. Успеют ли эти бригады, объединившись, построить дом за полмесяца?
Мама велела набрать до обеда корзинку крыжовника. Шустрый Петя набирает ее за 40 минут, а маленькая Катя — за полтора часа. За полчаса до обеда ребята вспомнили о просьбе мамы и принялись за работу вдвоем. Хватит ли им оставшегося времени?

II. Движение

Из городов А и В, находящихся на расстоянии 100 км, одновременно навстречу друг другу отправляются автомобиль и пешеход. Автомобиль едет со скоростью 72 км/ч и встречает пешехода на расстоянии 4 км от В. Какова скорость пешехода?
Точки А и В расположены на расстоянии 6 см друг от друга. Из А в В выбегает муравей со скоростью 7 мм/с. Одновременно из В в А выбегает другой муравей со скоростью 5 мм/с. Муравьи встречаются в точке Z. Чему равны расстояния АZ и ВZ?
Города X и Y расположены в 33 км друг от друга. Из X в Y отправляется пешеход, который проходит за 2 часа 9 км. Одновременно из Y в X отправляется другой пешеход, который проходит за 3 часа 14 км. На каком расстоянии от X встретятся пешеходы?
(*) Из города А в город В отправляется пешеход со скоростью u. Одновременно из В в А отправляется другой пешеход со скоростью v. Пешеходы встречаются в точке Z. Чему равны расстояния АZ и ВZ, если расстояние АВ равно s?
Ахиллес начинает догонять черепаху и бежит в 100 раз быстрее нее. На каком расстоянии от черепахи находился первоначально Ахиллес, если к тому моменту, когда он ее догнал, черепаха успела проползти 1 метр?
Из A в Ω катер идет 3 часа, из Ω в A — 4 часа. Собственная скорость катера 28 км/ч. Найти скорость течения реки.
Из A в Ω пароход идет 6 часов, из Ω в A — 8 часов. Скорость течения 3 км/ч. Какова собственная скорость парохода?
Из Верхних Васюков в Нижние выезжает катер с собственной скоростью 22 км/ч. Одновременно из Нижних Васюков в Верхние выезжает другой катер с собственной скоростью 18 км/ч. Расстояние между городами 60 км, скорость течения реки 2 км/ч. На каком расстоянии от Верхних Васюков встретятся катера?
Из города по шоссе выезжает «Запорожец» со скоростью 40 км/ч. Через 40 минут вслед за ним выезжает «Мерседес» со скоростью 140 км/ч. За какое время «Мерседес» догонит «Запорожец»?
Из Москвы в Саратов выходит поезд со скоростью 90 км/ч. Спустя час из Саратова в Москву выходит поезд со скоростью 60 км/ч. На каком расстоянии от Москвы встретятся поезда, если расстояние между городами 900 км?
Петя ушел в школу, забыв домашнюю работу по математике. Через 5 минут папа это обнаружил и бросился его догонять. Петя идет со скоростью 5 км/ч, папа бежит со скоростью 15 км/ч. На каком расстоянии от дома папа догонит Петю?
Рыбак сидел с удочками на берегу реки. Вытаскивая очередную рыбку, он не заметил, что от одной из удочек отвязался поплавок и поплыл вдоль берега, уносимый течением. Обнаружив пропажу спустя 3 минуты, рыбак побежал за поплавком и догнал его на расстоянии 300 м от своих удочек. Скорость течения 4 км/ч. С какой скоростью бежал рыбак?
Переправляясь через быструю речку, турист уронил в воду кепку. Выбравшись через минуту на берег, он помчался за ней со скоростью 15 км/ч и догнал ее в 500 м от места переправы. Какова скорость речки?
Из города по шоссе одновременно выезжают велосипедист со скоростью 15 км/ч и мотоциклист со скоростью 35 км/ч. Проехав 30 км, мотоциклист разворачивается и с той же скоростью едет назад. На каком расстоянии от города он встретит велосипедиста?
Из A в Ω одновременно выходят катер и плот. Прибыв в Ω, катер разворачивается, едет назад и встречает плот в 5 км от A. Скорость течения 4 км/ч, собственная скорость катера 20 км/ч. Найдите расстояние AΩ.
Чтобы прибыть из A в Ω точно по расписанию, рейсовый автобус идет со средней скоростью 60 км/ч. Однажды из-за поломок в пути средняя скорость оказалась равной 40 км/ч, и в результате автобус опоздал на полтора часа. Найдите расстояние AΩ.
От станции Горелово до станции Неелово электричка идет два часа. Если скорость электрички увеличить на 5 км/ч, она прибудет в Неелово на 10 минут раньше. Какова скорость электрички?
Почтальону Печкину необходимо прибыть в Простоквашино в 15⁰⁰. Если он будет ехать со скоростью 18 км/ч, он появится в Простоквашино в 14⁵⁰, а если он поедет со скоростью 12 км/ч, то окажется в Простоквашино только в 15¹⁵. Помогите ему отыскать нужную скорость.

III. Сколько лет?

Папа старше Васи в 4 раза, а в сумме им 45 лет. Сколько лет Васе и его папе?
Маша в 4 раза младше мамы и в 7 раз младше бабушки. Всем вместе им 96 лет. Сколько им лет в отдельности?
Папа на 3 года старше мамы и на 33 года старше Пети. Всем вместе им 90 лет. Сколько им лет в отдельности?
Близнецы Витя и Митя поспорили: Витя говорит, что они младше папы в 6 раз, а Митя — что они младше папы на 30 лет. Папа сказал, что оба правы. Сколько лет Вите и Мите?
Папе 40 лет, Саше 10 лет. Через сколько лет папа будет в три раза старше Саши?
Маше 10 лет, маме 34 года. Когда Маша была в пять раз младше мамы?
Папа в три раза старше Миши и в пять раз старше Гриши. Миша старше Гриши на 4 года. Сколько лет папе?
Коля в три раза младше папы и в два раза старше Оли. Оля младше папы на 25 лет. Сколько лет Оле и Коле?
Даша в 5 раз младше мамы, в 7 раз младше папы и в 12 раз младше бабушки. Папа старше мамы на 10 лет. Сколько лет бабушке?
Папа на два года старше мамы и в три раза старше Пети. Катя в пять раз младше мамы и на шесть лет младше Пети. Сколько каждому из них лет?
Три года назад Ася была в три раза младше Васи. Семь лет назад она была в семь раз младше Васи. Сколько лет сейчас Асе и Васе?
Четыре года назад Маша была в четыре раза младше мамы. Через 10 лет Маша будет в два раза младше мамы. Сколько сейчас Маше лет?
Мите 8 лет. Мама старше Мити во столько раз, сколько получится в результате деления на 6 ее возраста в момент рождения Мити. Сколько лет маме?
Если бы Настя была на четыре года младше, она была бы в 15 раз младше мамы. Четыре года назад Настя была в 13 раз младше мамы. Сколько лет Насте и ее маме?
Если бы Петя был на 8 лет старше, он был бы в 6 раз младше дедушки. Через 6 лет Петя будет в 8 раз младше дедушки. Сколько лет Пете и его дедушке?
По мнению Шалтая-Болтая, у Алисы неудобный возраст. В самом деле, если бы Алиса была на полтора года старше, она была бы в 4 раза младше папы, а если бы Алиса была на полтора года младше, она была бы в 6 раз младше папы. Сколько же лет Алисе?

IV. Сколько стоит?

Пете хватает денег на два мороженых и еще остается три рубля. Если бы денег у Пети было в два раза больше, он смог бы купить пять мороженых и еще остался бы рубль. Сколько стоит мороженое?
Маше на шоколадку не хватает рубля. «Вот если бы у меня было на 11 рублей больше, — подумала Маша, — денег как раз хватило бы, чтобы купить по шоколадке себе, маме и папе». Сколько денег сейчас у Маши?
Вася попросил взвесить 200 г конфет и вздохнул про себя: «Эх, будь у меня денег в четыре раза больше, хватило бы на целый килограмм». Сколько стоит килограмм конфет, если Вася получил два рубля сдачи?
Дяде Федору вчера было лень идти на рынок за мешком сахара, а сегодня цена выросла на треть. В результате ему пришлось за тот же мешок отдать лишних 25 рублей. Сколько всего заплатил дядя Федор за мешок сахара?
Книга стоит 15 рублей и еще четверть своей стоимости. Сколько стоит книга?
Полторта, да еще треть торта, да еще четверть торта на три рубля дороже целого торта. Сколько стоит торт?
Вилка дороже ложки на рубль. Пять вилок стоят столько же, сколько семь ложек. Сколько стоят вилка и ложка в отдельности?
Три тарелки и четыре чашки стоят в сумме 76 рублей. Кроме того, пять тарелок стоят столько же, сколько шесть чашек. Сколько стоят тарелка и чашка в отдельности?
Две дыни стоят столько же, сколько три арбуза, а арбуз — четверть стоимости дыни и еще пять рублей. Сколько стоят дыня и арбуз в отдельности?
Годовая плата работнику — 100 монет и кошелек. Прекратив работать через 5 месяцев, он получил кошелек и 37 монет. Сколько стоит кошелек?
(*) Купец продавал свой товар по 3 рубля. Однажды он решил, что прибыль его недостаточна, и назначил более высокую цену. Однако купец просчитался: в день стало продаваться товара в два раза меньше, так что дневная выручка упала в полтора раза. Какую цену назначил купец?
(*) Позавчера торговец закупил партию товара по некоторой цене. Вчера цена выросла на четверть, и торговец продал всю партию. А сегодня цена упала на треть по сравнению со вчерашней, и удачливый торговец вновь закупил товар на всю вчерашнюю выручку. Во сколько раз сегодня у торговца товара больше, чем позавчера?

V. Что это за число?

Во всех задачах этого раздела речь идет о натуральных числах.

Петю попросили умножить некоторое число на 7 и прибавить 4. Петя перепутал и сначала прибавил 7, а потом все умножил на 4, но результат получил тот же. Что это было за число?
Маша обнаружила любопытное число: если вычесть из него 3 и разность умножить на 3, получается тот же результат, что и при вычитании из этого числа 7 и умножении разности на 7. Что за число нашла Маша?
Если к числу приписать справа 0, оно увеличится на 666. Найдите это число.
Если к числу приписать справа 9, оно увеличится на 666. Найдите это число.
Если к числу приписать справа 3, оно увеличится на 777. Найдите это число.
(*) Покажите, что существуют только два числа (найденные в задачах 3,4), которые увеличиваются на 666 после приписывания справа некоторой цифры.
(*) Покажите, что существует только одно число (найденное в задаче 5), которое увеличивается на 777 после приписывания справа некоторой цифры.
(*) К некоторому числу приписали справа некоторую цифру, в результате чего число увеличилось на 1999. Что это за число и что это за цифра?
(**) Попробуйте доказать такое утверждение: для любого натурального числа n, n ≥ 9, найдется натуральное число x, которое после приписывания к нему справа некоторой цифры увеличивается на n. Вы видели, что для n = 666 таких чисел найдется два. Для каких вообще n существуют два соответствующих числа x? Можно ли для какого-то n найти более двух таких чисел?
К двузначному числу приписали слева 1, и оно увеличилось в 5 раз. Какое это число?
К трехзначному числу приписали слева 7, и оно увеличилось в 9 раз. Какое это число?
К двузначному числу приписали слева 4 и справа 5, в результате чего оно увеличилось в 55 раз. Что это за число?
(*) Может ли число увеличиться в 7 раз после приписывания к нему слева цифры 1?
(*) К некоторому числу приписали справа 7, и оно увеличилось в целое число раз. Что это за число? (Задача имеет два решения!) Трехзначное число начинается цифрой 3. Если переставить эту цифру в конец числа, то число увеличится на 333. Найдите это число.
(*) Существует всего пять трехзначных чисел, которые увеличиваются на 333 после перестановки первой цифры в конец числа. Попробуйте найти их. Трехзначное число оканчивается цифрой 8. Если переставить эту цифру в начало числа, то число увеличится в семь с половиной раз. Что это за число?
(*) Найденное вами в предыдущей задаче число является единственным: других трехзначных чисел, которые увеличиваются в семь с половиной раз после перестановки последней цифры в начало числа, не существует. Докажите это.
(*) Если первую цифру трехзначного числа переставить в его конец, то число увеличится в 33/7 раза. Существует только одно такое число. Попробуйте его отыскать.
Если некоторое число умножить на 3, затем отнять 4, результат разделить на 5 и потом прибавить 6, то получится это же число. Найдите его.

VI. Проценты

Число а на 100% больше числа b. На сколько процентов b меньше а?
Число а на 20% меньше числа b. На сколько процентов b больше а?
Число а на 60% больше числа b. На сколько процентов b меньше а?

Число а увеличили на 30%. Полученное число увеличили на 40%. На сколько процентов в результате увеличилось число а?
Одну сторону прямоугольника увеличили на 10%, а другую уменьшили на 10%. Как и на сколько процентов изменилась площадь прямоугольника?
Одну сторону прямоугольного параллелепипеда увеличили на 10%, другую — на 20%, третью — на 30%. На сколько процентов увеличился объем параллелепипеда?
Количество воды в сосуде увеличилось на 150%. Сколько процентов воды надо отлить из сосуда, чтобы ее количество стало прежним?
Позавчера цена товара в двух магазинах была одинакова. В первом магазине цена вчера увеличилась на 10%, а сегодня уменьшилась на 10%. Во втором магазине цена вчера увеличилась на 20%, а сегодня уменьшилась на 20%. В каком из магазинов товар сегодня стоит дешевле?
(*) Некоторое число а Петя увеличил на р% и результат уменьшил на р%. Вася, наоборот, уменьшил число а на р% и результат увеличил на р%. Покажите, что оба получили в итоге одно и то же число.
Яблоко содержит 85% влаги. Когда 10 кг яблок высушили на солнце, их влажность упала до 25%. Какова стала масса этих яблок?
(*) Яблоко содержит а% влаги. После подсушивания его влажность стала b%. Во сколько раз уменьшилась масса яблока?
Товар подорожал на 60%. На сколько процентов меньше можно теперь купить этого товара на ту же сумму денег?
У начинающего химика Сережи есть 30 г 25%-ного раствора кислоты, а ему нужен 15%-ный раствор. Математику Сережа знает плохо. Помогите ему определить, сколько граммов воды надо добавить в имеющийся раствор для получения нужной концентрации.
(*) Какая часть воды должна испариться, чтобы 20%-ный раствор соли стал 50%-ным?
Сережа вновь в затруднении: какова будет концентрация раствора соли, если 10 г 20%-ного раствора смешать с 30 г 40%-ного?
Попробуйте вывести общую формулу для концентрации раствора, получающегося после смешения раствора массой m₁ концентрации p₁% с раствором массой m₂ концентрации p₂%. Подставьте в нее данные предыдущей задачи: получается ли тот же результат?
(*) Сережа догадался, что задачу 10 также можно попытаться решить в общем виде: какую массу воды надо добавить к р%-ному раствору массой m, чтобы получить q%-ный раствор? Ведь если снова возникнет похожая задача, не будет необходимости решать ее — достаточно подставить конкретные числа в готовую формулу! Помогите Сереже.
Нужно 70 г 33%-ного раствора соли, а под рукой имеются 45%-ный и 10%-ный растворы. Сколько граммов каждого раствора следует смешать?
В каком соотношении нужно смешать 37%-ный раствор с 11%-ным, чтобы получить 17%-ный раствор?
(*) Решите обе предыдущие задачи в общем виде: сколько нужно смешать р%-ного раствора с q%-ным, чтобы получить r%-ный раствор массой m? В каком соотношении следует смешать р%-ный раствор с q%-ным для получения r%-ного раствора?

VII. Разные задачи

Какой цифрой оканчивается число а) 1999!; б) 19^19+99^99; в) 1998^1999?
Сколько диагоналей у выпуклого 1999-угольника?
В некотором королевстве 30 городов. Король приказал проложить новые дороги так, чтобы каждые два города были соединены отдельной дорогой. Сколько всего дорог пришлось проложить?
В соседнем королевстве 25 городов. Король захотел попарно соединить их новыми дорогами так, чтобы каждый город был соединен ровно с тремя другими. Покажите, что желание короля выполнить невозможно.
Сколько существует пятизначных чисел, среди цифр которых нет одинаковых?
Король решил выдать замуж трех своих дочерей. Со всех концов света явились во дворец сто юношей. Сколько у дочерей короля различных вариантов выбора женихов?
В хоккейном турнире участвовали 7 команд. Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному матчу. Сколько матчей было сыграно на турнире?
В шахматном турнире приняли участие 10 шахматистов. Каждый шахматист сыграл с каждым из остальных по две партии (одну белыми фигурами и одну черными). Сколько всего партий было сыграно на турнире?
По велотреку одновременно стартуют два велосипедиста. Они едут из точки старта в противоположных направлениях, причем каждый из них проезжает круг за 45 секунд. Сколько раз они встретятся а) в течение 10 минут; б) в течение 20 минут?
Сколько времени на часах, если после 12⁰⁰ прошло 2/3 времени, оставшегося до 13⁰⁰?
В какой момент времени после 12⁰⁰ часовая и минутная стрелки впервые образуют прямой угол? впервые совмещаются?
Сколько раз в течение суток часовая и минутная стрелки совмещаются? образуют прямой угол?
Собирая часы, рассеянный часовщик перепутал шестеренки, в результате чего минутная стрелка пошла с той же скоростью, но в противоположном направлении. Сколько раз в течение суток у таких часов минутная и часовая стрелки совмещаются? образуют прямой угол?
Чтобы выполнить в срок заказ на изготовление партии деталей, бригада рабочих планировала выпускать по 400 деталей в день. Однако срок сократился на два дня, так что выпускать пришлось по 500 деталей в день. Сколько было деталей в заказанной партии?
100 г конфет и шоколадка стоят 13 рублей. 700 г конфет и 5 шоколадок стоят 75 рублей. Сколько стоят в отдельности шоколадка и килограмм конфет?
В некоторой гимназии, в некотором классе все ученики закончили четверть без троек по древним языкам, причем каждый ученик получил в четверть пятерку либо по латыни, либо по греческому. По латыни пятерки получили 75% учеников, по греческому — 65%. Сколько процентов учеников получили пятерки сразу по двум языкам?
Имеются два сплава меди с цинком. В одном сплаве отношение массы меди к массе цинка равно 2:3, а в другом — 4:5. От каждого сплава взяли одинаковые по массе куски и сплавили их друг с другом. Какое соотношение меди и цинка будет в полученном сплаве?
В темной комнате в кульке лежат конфеты пяти сортов. Какое наименьшее количество конфет надо вытащить в темноте, чтобы среди них оказалось не менее четырех конфет одного сорта?
На числовой прямой в точке х = 0 стоит фишка. Первым ходом ее разрешается передвинуть вправо или влево на 1, вторым — на 2, третьим — на 3 единицы и т. д. Докажите, что на 1999-м ходу фишка не сможет попасть в точку х = 1999.
Петя порвал газету на пять частей. Затем некоторые из кусков он снова порвал на пять частей и т. д. Остановившись наконец, он принялся считать полученные куски и получил число 1999. Докажите, что Петя ошибся.

Ответы

1. 3 мин
2. 15 косцов
3. 3 кг
4. 3 яйца
5. за 10 мин
6. за 25 мин
7. за 12 час
8. за 24 дня
9. за 45 мин
10. нет
11. да
1. 3 км/ч
2. 35 мм, 25 мм
3. 16 км 200 м
4. AZ = su / u+v; BZ = sv / u+v
5. 99 м
6. 4 км/ч
7. 21 км/ч
8. 36 км
9. за 16 мин
10. 576 км
11. 625 м
12. 12 км/ч
13. 10 км/ч
14. 18 км
15. 15 км
16. 180 км
17. 55 км/ч
18. 15 км/ч
1. 9 и 36
2. 8, 32, 56
3. 42, 39, 9
4. 6
5. Через 5 лет
6. 4 года назад
7. 30
8. 5 и 10
9. 60
10. 42, 40, 14, 8
11. 9 и 21
12. 11
13. 32
14. 6 и 30
15. 3 и 66
16. Семь с половиной
1. 5 р
2. 4 р
3. 40 р
4. 100 р
5. 20 р
6. 36 р
7. 3 р 50 к, 2 р 50 к
8. 12 р, 10 р
9. 12 р, 8 р
10. 8 монет
11. 4 р
12. в полтора раза
1. 8
2. 10
3. 74
4. 73
5. 86
8. 222; 1
10. 25
11. 875
12. 89
13. нет
14. 1 и 7
15. 370
16. 148, 259, 370, 481, 592
17. 108
19. 189
20. 13
1. на 82%
2. уменьшилась на 1%
3. на 71,6%
4. 60%
5. во втором
7. 2 кг
8. в 100–b / 100–a раз
9. на 37,5%
10. 20 г
11. 3/4
12. 35%
13. p₁m₁+p₂m₂ / m₁+m₂
14. (p/q–1)m
15. 46 г , 24 г
16. 3:10
17. ; ; (r–q):(p–r)
1. а) 0; б) 8; в) 2
2. 1995002
3. 435
5. 27216
6. 970200
7. 21
8. 90
9. а) 26 раз б) 53 раза
10. 12 ч 24 мин
11. 12 ч 16 мин 21 9/11 сек; 1ч 05 мин 27 3/11 сек
12. 22 раза; 44 раза
13. 26 раз; 52 раза
14. 4000
15. 8 р и 50 р
16. 40%
17. 19:26
18. 16