Делимость 1

Число 32 можно разделить на 4 — получится 8. Говорят, что 32 делится на 4, а число 4 называют делителем числа 32. А вот число 7 не является делителем числа 32: разложить 32 камешка на 7 равных кучек не получится. В таком случае говорят, что число 32 не делится на 7. Можно указать все делители числа 32 — это 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Определение. Число а делится на число b, если его можно представить в виде произведения числа b и некоторого натурального числа с: a = bc. Числа b и c называются делителями числа а.

Любое число делится на 1 и на само себя. Может оказаться, что других делителей у данного числа нет — таковы, например, числа 7, 13, 19. Такие числа называются простыми. А число 32 является примером составного числа: у него больше двух делителей.

Определение. Число называется простым, если оно имеет ровно два делителя — единицу и само себя. Число называется составным, если оно имеет более двух делителей.

Число 1 имеет единственный делитель: само число 1. Этот случай не укладывается ни в определение простых, ни тем более в определение составных чисел. Поэтому число 1 не является ни простым, ни составным.

Число, которое делится на 2, называется четным. Число, которое не делится на 2, называется нечетным. Установить, является ли данное число четным или нечетным, очень легко — для этого не нужно выполнять деление! Достаточно взглянуть на последнюю цифру этого числа.

Признак четности числа (признак делимости на 2). Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то оно является четным (делится на 2). Если число оканчивается на 1, 3, 5, 7, 9, то оно является нечетным (не делится на 2).

Точно так же без всякого деления можно установить, делится ли данное число и на некоторые другие числа.

Признак делимости на 10. Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10. Число, оканчивающееся любой другой цифрой, не делится на 10.

Признак делимости на 5. Если число оканчивается на 0 или на 5, то оно делится на 5. Число, оканчивающееся любой другой цифрой, не делится на 5.

Признак делимости на 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Если сумма цифр числа не делится на 3, то и само число не делится на 3.

Признак делимости на 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и само число не делится на 9.

Признак делимости на 11. У данного числа найдем сумму цифр, стоящих на четных местах, и сумму цифр, стоящих на нечетных местах. Если эти суммы равны или их разность делится на 11, то и само число делится на 11. В противном случае число не делится на 11.

1. Если 273 разделить на 13, получится 21. Является ли 21 делителем числа 273? Почему?
2. Приведи пример четного простого числа. Существуют ли другие четные простые числа?
3. Выпиши в порядке возрастания все делители каждого из следующих чисел: 5; 6; 11; 12; 17; 18; 23; 24; 36; 41; 60; 84; 93; 108. Какие из данных чисел являются простыми, а какие — составными?
4. Какие из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 50, 60 являются делителями числа 120?
5. Представь данное число в виде произведения двух множителей всеми возможными способами (порядок множителей не имеет значения): а) 8; б) 18; в) 36; г) 60; д) 72; е) 96.
6. Найди все общие делители чисел: а) 18 и 24; б) 22 и 66; в) 72 и 90; г) 27, 36 и 45.
7. Найди пять чисел, делителем которых является число: а) 11; б) 37; в) 1999.
8. Найди десять четных чисел, которые не делятся на 4.
9. Найди пять чисел, которые а) делятся одновременно на 3 и 7; б) делятся одновременно на 4 и 6; в) делятся на 3, но не делятся на 6; г) не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5.
10. Даны числа: 111, 450, 451, 666, 825, 1000, 1111, 3180, 5175, 6300, 7656, 74304, 263835, 111111111. Про каждое из них скажи, делится ли оно на 2, 3, 5, 9, 10, 11.
11. Выясни, делятся ли на 2, 3, 5, 9, 10, 11 год твоего рождения и номер твоего телефона.
12. Придумай: а) три трехзначных числа, делящихся на 2 и 3; б) три пятизначных числа, делящихся на 3 и 5; в) три шестизначных числа, делящихся на 2, 5 и 9; г) одно трехзначное, одно четырехзначное и одно пятизначное число, делящиеся на 11.
13. Придумай девятизначное число, которое делится на 3 и не делится на 9.
14. Можно ли придумать число, которое делится на 9 и не делится на 3? Почему?
15. Придумай четырехзначное число, которое делится на 2, 3 и 11, но не делится на 5 и 9.
16. Придумай: а) нечетное трехзначное число, которое не делится на 3, но делится на 5 и 11; б) четное пятизначное число, которое делится на 5 и 9, но не делится на 11.
17. Найди все делители числа 1001.