Комбинаторика — своеобразный и очень интересный раздел математики, в котором решаются задачи выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Простейшие комбинаторные задачи связаны с перебором различных вариантов, удовлетворяющих поставленным условиям. Рассмотрим некоторые примеры.
1. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 3, 5, 7?
Если бессистемно начать составлять всевозможные числа, можно что-то упустить или написать какое-то число дважды. Поэтому лучше всего придумать способ перебора, при котором ни одно из возможных чисел от нас бы не ускользнуло и, с другой стороны, который исключил бы возможность повторения. Один из таких способов — записывать возможные числа в порядке возрастания: 33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77. В итоге получилось 9 чисел.
2. К завтрашнему дню нужно сделать латынь, греческий и математику, в какой последовательности — безразлично. Сколько всего существует таких последовательностей?
Введем для удобства обозначения: Л — латынь, Г — греческий, М — математика. Выпишем все возможные последовательности в алфавитном порядке: ГЛМ, ГМЛ, ЛГМ, ЛМГ, МГЛ, МЛГ. Получилось 6 последовательностей — уроки можно сделать шестью способами!
При решении задач нужно обязательно выписывать все возможные варианты.
- Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3, 4?
- Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 5, 6, 7, 8, если при записи числа каждую цифру разрешается использовать только один раз?
- Петя и Вася пишут контрольную по математике, причем каждый может получить любую из оценок 2, 3, 4, 5. Сколько существует вариантов получения ими оценок?
- Президент Анчурии хочет иметь государственный флаг, состоящий из трех горизонтальных разноцветных полос — серой, бурой и малиновой. Сколько у президента вариантов выбора флага?
- На прямой отметили четыре точки A, B, C, D. Сколько при этом получилось отрезков?
- На клетчатой бумаге нарисовали квадрат 4x4 и внутри него по линиям клеток прочертили горизонтальные и вертикальные отрезки параллельно сторонам. Сколько всего квадратов оказалось нарисовано?
- Петя трижды подбрасывает монету. Сколько различных последовательностей орлов и решек он может при этом получить?
- Сколько а) двузначных; б) трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2?
- Алфавит племени Мумбо-Юмбо содержит только две буквы — А и У. Любая последовательность этих букв является словом. Сколько существует в языке этого племени слов а) из четырех букв; б) не более, чем из трех букв?
- Турист хочет побывать в Риме, Париже, Лондоне и Афинах, но не знает, в какой последовательности. Сколько перед ним различных вариантов маршрутов?
- Анаграммой данного слова называется слово, полученное из него перестановкой букв (например, «бьорд» является анаграммой слова «дробь»). Сколько анаграмм имеют слова «маг», «дед», «deus», «ирис»?
- Сколькими способами можно выложить в ряд два белых и два черных шарика?
- В магазине продается белая, черная и синяя ткань. Нужно купить ткань двух различных цветов. Из какого числа вариантов приходится выбирать?
- В вазе лежат яблоко, груша, персик и абрикос. Маше разрешили выбрать два каких-то фрукта. Сколько у Маши вариантов выбора?
- В турнире участвовали пять шахматистов, причем каждый шахматист сыграл с каждым из остальных по одной партии. Сколько партий было сыграно на турнире?
- Вите хочется купить пять разных книг. Книги стоят одинаково, а денег хватает только на три книги. Сколькими способами Витя может выбрать три книги из пяти?
- Сколькими способами можно купить две порции мороженого, если в продаже есть вафельные стаканчики, фруктовые стаканчики, шоколадные брикеты и эскимо?
- Сколькими способами можно расставить три разных цветка в две вазы?
- В некотором царстве три города: А, Б и В. Из А в Б ведут две дороги, из Б в В — пять дорог. Сколько различных путей ведут из А в В? Прямого пути между А и В нет.
- У Ани четыре разных платья и три разных пары туфель. Собираясь на вечеринку, она думает, что бы ей надеть. Сколько всего у Ани вариантов?
