Единый государственный экзамен по математике, 2005 год

 При выполнении заданий этой части для каждого задания выбирайте тот ответ, который, по Вашему мнению, является правильным.

 Найдите значение выражения .

 Упростите выражение .

 Сократите дробь .

 Найдите значение log₃(9b), если log₃b = 5.

 Решите уравнение .

 Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log₂(x + 1) = log₂(3x).

 Решите неравенство 5^{2 - 3x} - 1 ≥ 0.

 Решите неравенство .

 Укажите промежуток, которому принадлежат нули функции .

 Функция у = f(x) задана на промежутке [–6; 4]. Укажите промежуток, которому принадлежат все точки экстремума.

 Найдите область определения функции y = log_0,3(x - x²).

 Найдите множество значений функции y = sin x + 2.

 Укажите график функции, заданной формулой y = 0.5^x.

 Найдите значение производной функции y = x · e^x в точке x₀ = 1.

 Для функции y = 2cos x найдите первообразную, график которой проходит через точку .

 При движении тела по прямой расстояние S (в метрах) от начальной точки движения изменяется по закону (t – время движения в секундах). Найдите скорость (м/с) тела через 4 секунды после начала движения.

 Ответом на каждое задание этой части будет некоторое число. Если ответ получился в виде дроби, то ее надо округлить до ближайшего целого числа. Единицы измерений писать не нужно.

 Пусть (х₀; у₀) - решение системы
 Найдите произведение х₀ · у₀.

 Функция у = f(x) задана на отрезке [a; b]. На рисунке изображен график ее производной у = f'(x).

 Исследуйте на монотонность функцию у = f(x).
 В ответе укажите количество промежутков, на которых функция возрастает.

 Найдите значение выражения , если .

 Найдите наименьшее значение функции .

 Пусть x₀ - наименьший положительный корень уравнения cos²x - 5sin x · cos x + 2 = 0. Найдите tg x₀.

 При каком значении a функция имеет максимум при x = 4?

 Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной?
(Знак % в ответе не пишите).

 Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале молодежного клуба площадью 288 м². Приобретая опыт, студенты в каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м² больше, чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобится еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 коробки хватает на 1,2 м² пола, а для замены некачественных плиток понадобится 3 коробки?

 Дана призма АВСDА₁В₁С₁D_1, в основании которой лежит квадрат, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60º. Отрезок D₁A перпендикулярен плоскости основания. Найдите длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности призмы равна .

 Площадь треугольника АВС равна . Найдите АС, если сторона АВ равна 8 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 5.

 Для записи ответов на задания этой части (С1 – С4) используйте специальный бланк. Запишите сначала номер задания (С1 и т.д.), а затем полное решение.

 Решите уравнение

 При каких значениях параметра n уравнение 15 · 10^x - 20 = n - n · 10^{x + 1} не имеет корней?

 Основание пирамиды МАВСD – ромб АВСD, в котором . Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны. Плоскость α, параллельная плоскости основания пирамиды, пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что MP : PO = 2 : 3. В образовавшуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось которого лежит на высоте пирамиды, а верхнее основание вписано в сечение пирамиды плоскостью α. Найдите объем пирамиды, если объем цилиндра равен .

 Найдите все положительные значения параметра a, при которых в области определения функции есть двузначные натуральные числа, но нет ни одного трехзначного натурального числа.