В морозный зимний день градусник за окном показал –25°: его столбик опустился на 25 делений ниже нуля. Значения температуры могут быть положительными и отрицательными, а разделяет их 0° — температура таяния льда. Точно так же и в математике существуют положительные и отрицательные числа, которые отделены друг от друга числом 0. Все эти числа лежат на числовой прямой — так, как расположены деления на шкале термометра. А именно, каждому натуральному числу 1, 2, 3, ... (положительные числа) соответствует противоположное число –1, –2, –3, ... (отрицательные числа). Отрицательное число расположено на числовой прямой слева от нуля симметрично своему положительному «собрату». Например, чтобы отметить число –1999, нужно отложить влево от нуля 1999 единичных отрезков.
Итак, знак «минус» означает переход к противоположному числу: –5 противоположно числу 5. Но геометрически и 5 противоположно числу –5 — ведь эти числа симметричны относительно нуля! Раз так, мы можем поставить «минус» перед –5 и в результате получим число 5 (два «минуса» подряд потребуют скобок): –(–5) = 5. Как говорят, «минус на минус дает плюс», но знак «плюс» перед положительным числом обычно не ставится.
Натуральные числа 1, 2, 3, ..., противоположные им числа –1, –2, –3, ... и число 0 образуют множество целых чисел. Попросту говоря, целое число — это натуральное число со знаком «плюс» или «минус» либо нуль. Обрати внимание: всякое натуральное число является целым, но не всякое целое — натуральным. Математики говорят, что множество натуральных чисел есть подмножество множества целых чисел, или, по-другому, что множество целых чисел является расширением множества натуральных чисел.
Два натуральных числа легко можно сравнить друг с другом, т.е. ответить на вопрос, какое из них больше, а какое меньше. Ясно, например, что 17 < 26 — ведь при счете 17 появляется раньше, чем 26. Можно сказать и так: 17 < 26 по той причине, что на числовой прямой 17 лежит левее, чем 26 (или 26 > 17, потому что на числовой прямой 26 расположено правее 17). Это соображение позволяет теперь сравнить любые два целых числа, например:
–3 < 5, потому что на числовой прямой –3 расположено левее 5;
–100 > –200, потому что на числовой прямой –100 расположено правее –200. Итак, запомни общее правило:–
если число a расположено на числовой прямой левее числа b, то a < b;
если число a расположено на числовой прямой правее числа b, то a > b.
- Отметь на числовой прямой числа 3, 7, 11 и числа, им противоположные.
- Отметь на числовой прямой числа –4, –9, –16 и числа, им противоположные.
- Чему равно число –0? Почему?
- Найди х, если а) –х = –10; б) –х = 32.
- Запиши без скобок: –(–2), –(–137), –(–(–12)), –(–(–(–1))).
- Назови целое число, которое не является ни отрицательным, ни положительным.
- Назови пять целых чисел, не являющихся натуральными.
- Укажи, какое из чисел ближе к нулю: а) –4 или 3; б) –98 или 99; в) –13 или –14; г) 8 или –8.
- Сравни числа: –5 и 2; 1000 и –1000; –9 и –13; 1 и 0; –4 и 0; –777 и –666; –1999 и –2000. В каждом случае объясни свой ответ.
- Какое число больше: положительное или нуль? Отрицательное или нуль? Положительное или отрицательное? Почему?
- Некоторое число a меньше своего противоположного. Положительным или отрицательным является число а?
- Выпиши в порядке возрастания целые числа: а) от –6 до 4; б) от –12 до 0; в) от –55 до –44; г) от –2000 до года твоего рождения со знаком «минус».
- Выпиши: а) все положительные целые числа, меньшие 9; б) все отрицательные целые числа, большие –7.
- Двойное неравенство. В тройке чисел (8; 3; 5) число 5 больше, чем 3, но меньше, чем 8 — этот факт коротко записывают в виде двойного неравенства: 3 < 5 < 8. Запиши двойное неравенство для следующих троек: (7; 13; 2), (–5; –9; 4), (35; –76; 0), (–11; –66; –33).
- Запиши в порядке возрастания числа 14, –8, –25, 1, –3, –33, 117, 0, –28, 59, –18.
- Запиши в порядке убывания числа 2, –7, –13, 5, –2, 0, 10, –11, 12, –15, –12.
- Число a положительно, число b отрицательно. Сравни –a и –b.
- Числа a и b положительны и a > b. Сравни –a и –b.
- Числа a и b отрицательны и a< b. Сравни –a и –b.
