1. Решить неравенство
1. Решение.
Данное неравенство имеет смысл при x2 + 2x - 3 і 0 и x2 - x - 12 № 0, т. е. при x О (-Ґ; -3) И (4; Ґ). Решая теперь на этом множестве наше неравенство методом интервалов получаем, что при x О (-Ґ; -3) неравенство выполнено, так как на этом промежутке числитель и знаменатель положительны. Значение x = 1 является решением, поскольку в этой точке числитель обращается в нуль, а знаменатель ненулевой, и, следовательно, вся дробь равна нулю. На интервале (1;4) решений нет, так как на этом промежутке числитель положителен, а знаменатель отрицателен. И, наконец, все точки луча (4; Ґ) являются решением, поскольку на этом промежутке и числитель и знаменатель положительны.
1. Ответ: x О (-Ґ; -3) И {1} И (4; Ґ).
2. Решить неравенства
2. Решение.
2.а. При любом x из ОДЗ справедливо неравенство
Решая систему
получаем: x О (-Ґ,2]И{5}.
2.б. Так как при x і 0 неравенство (4б) превращается в неравенство (4а), имеем x О [0;2]И{5}. Пусть теперь x < 0, тогда |x| = -x, x-5 < 0, поэтому данное неравенство равносильно системе
откуда x Ј -5 или -2 Ј x < 0. Объединяя множества решений, полученные при x і 0 и при x < 0, получаем x О (-Ґ;-5]И[-2;2]И{5}.
3. Решить неравенство
3. Решение.
ОДЗ этого неравенства составляют отличные от нуля решения неравенства 24-2x-x2 Ј 0, т.е. ОДЗ есть множество [-6;0)И(0;4]. Теперь заметим, что при отрицательных x левая часть данного нераевнства отрицательна, поэтому неравенство выполняется. Для x О (0;4] исходное неравенство преобразуется к виду 24-2x-x2 Ј x2. Отсюда x О [3;4].
3. Ответ: О [-6;0)И[3;4].
4. Решить неравенство (10 кл.)
4. Решение.
Замена y = Ц (x2-3x+5), приводит к неравенству y2+y-12 і 0. Отсюда y Ј -4 или y і 3. Учитывая, что y неотрицательно, решаем только неравенство Ц (x2-3x+5) і 3, или после возведения в квадрат, x2-3x-4 і 0. Окончательно имеем x Ј -1, x і 4.
4. Ответ: x О (-Ґ;-1]И[4;Ґ).
5. Решить неравенство
5. Решение.
Сначала найдем область допустимых значений x. Для этого решая методом интервалов неравенство 2x2-5x+3 і 0, получим x О (-Ґ;1]И[3/2;+Ґ). Теперь на ОДЗ достаточно решить неравенство 4x2-8x+3 і 0 и добавить корни уравнения 2x2-5x+3 = 0. Окончательно получаем x О (-Ґ,1/2]И{1}И[3/2;Ґ).
1. Решение.
Данное неравенство имеет смысл при x2 + 2x - 3 і 0 и x2 - x - 12 № 0, т. е. при x О (-Ґ; -3) И (4; Ґ). Решая теперь на этом множестве наше неравенство методом интервалов получаем, что при x О (-Ґ; -3) неравенство выполнено, так как на этом промежутке числитель и знаменатель положительны. Значение x = 1 является решением, поскольку в этой точке числитель обращается в нуль, а знаменатель ненулевой, и, следовательно, вся дробь равна нулю. На интервале (1;4) решений нет, так как на этом промежутке числитель положителен, а знаменатель отрицателен. И, наконец, все точки луча (4; Ґ) являются решением, поскольку на этом промежутке и числитель и знаменатель положительны.
1. Ответ: x О (-Ґ; -3) И {1} И (4; Ґ).
2. Решить неравенства
2. Решение.
2.а. При любом x из ОДЗ справедливо неравенство
Поэтому данное неравенство выполняется, если
| м н о |
x2-7x+10 і 0, x-5 Ј 0. |
Решая систему
| м н о |
(x-2)(x-5) і 0, x-5 Ј 0, |
получаем: x О (-Ґ,2]И{5}.
2.б. Так как при x і 0 неравенство (4б) превращается в неравенство (4а), имеем x О [0;2]И{5}. Пусть теперь x < 0, тогда |x| = -x, x-5 < 0, поэтому данное неравенство равносильно системе
| м н о |
x2+7x+10 і 0, x < 0 |
Ы | м н о |
(x+2)(x+5) > 0, x < 0, |
откуда x Ј -5 или -2 Ј x < 0. Объединяя множества решений, полученные при x і 0 и при x < 0, получаем x О (-Ґ;-5]И[-2;2]И{5}.
3. Решить неравенство
3. Решение.
ОДЗ этого неравенства составляют отличные от нуля решения неравенства 24-2x-x2 Ј 0, т.е. ОДЗ есть множество [-6;0)И(0;4]. Теперь заметим, что при отрицательных x левая часть данного нераевнства отрицательна, поэтому неравенство выполняется. Для x О (0;4] исходное неравенство преобразуется к виду 24-2x-x2 Ј x2. Отсюда x О [3;4].
3. Ответ: О [-6;0)И[3;4].
4. Решить неравенство (10 кл.)
| _______ Цx2-3x+5 |
+ x2 і 3x+7. |
4. Решение.
Замена y = Ц (x2-3x+5), приводит к неравенству y2+y-12 і 0. Отсюда y Ј -4 или y і 3. Учитывая, что y неотрицательно, решаем только неравенство Ц (x2-3x+5) і 3, или после возведения в квадрат, x2-3x-4 і 0. Окончательно имеем x Ј -1, x і 4.
4. Ответ: x О (-Ґ;-1]И[4;Ґ).
5. Решить неравенство
| (4x2-8x+3)(2x2-5x+3)1/2 і 0. |
5. Решение.
Сначала найдем область допустимых значений x. Для этого решая методом интервалов неравенство 2x2-5x+3 і 0, получим x О (-Ґ;1]И[3/2;+Ґ). Теперь на ОДЗ достаточно решить неравенство 4x2-8x+3 і 0 и добавить корни уравнения 2x2-5x+3 = 0. Окончательно получаем x О (-Ґ,1/2]И{1}И[3/2;Ґ).
