Ваш репетитор
 



8 (495) 540-56-76
8 (800) 555-56-76
Часы работы:
с 06:00 до 22:00


«Ваш репетитор» рекомендует:

Тарасюк
Григорий Михайлович
репетитор по математике, физике Образование: НИЯУ МИФИ, факультет теоретической ...

Сургутова
Елена Валерьевна
репетитор по математике Образование: МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, ...

Дмитриев
Михаил Фёдорович
репетитор по математике, физике Кандидат технических наук (1991 г.). Доцент ...

Чернова
Анастасия Игоревна
репетитор по математике Первая квалификационная категория. Образование: Донецкий национальный ...

Дорожкин
Евгений Иванович
математика, химия, высшая математика, математический анализ Кандидат химических наук (2011 г.). Образование: ...

Родэ
Константин Вадимович
репетитор по математике, информатике Образование: Московский институт электронного ...

Немеш
Норберт Тиборович
математика, высшая математика, математический анализ Образование: аспирантура МГУ им. М.В. Ломоносова, ...

Сухоручкин
Дмитрий Андреевич
математика, физика, высшая математика, сопротивление материалов Образование: ...



Лучшие преподаватели по математике

Коварский
Кирилл Александрович
математика, информатика, программирование Образование: РГГУ, факультет информатики, ...

Деянов
Рамиль Зинятуллович
математика, высшая математика, математический анализ Кандидат физико-математических наук (1988 ...

Тарасюк
Григорий Михайлович
репетитор по математике, физике Образование: НИЯУ МИФИ, факультет теоретической ...

Солин
Михаил Владимирович
математика, физика, высшая математика, математический анализ Кандидат физико-математических наук. Доцент ...


Задачи по геометрии: планиметрия.

1. Задача.
Отрезки AB и CD равны по длине и не параллельны. Найти геометрическое место всех точек M таких, что площадь треугольника AMB равна площади треугольника CMD.

1. Решение.
Пусть O - точка пересечения прямых AB и CD. Обозначим через lпрямую, содержащую биссектрису угла AOC, а через m - прямую, перпендикулярную l и проходящую через точку O (т.е. l и m - прямые, содержащие биссектрисы вертикальных углов, образующихся при пересечении прямых (AB) и (СD)). Искомым геометрическим местом точек будет объединение прямых l и m без точки O. В самом деле, для любой точки M, лежащей на одной из биссектрисс, расстояние от нее до прямых (AB) и (CD) одинаково, следовательно, высоты треугольников AMB и CMD равны, а основания AB и CD равны по условию. Поэтому площади треугольников AMB и AMD равны. Для произвольной точки M, не лежащей ни на одной из биссектрисс площади треугольников AMB и CMDне равны, так как в этом случае у этих треугольников равные основания, но разные высоты. Точка O не принадлежит искомому геометрическому месту точек, так как если точка M совпадает с точкой O, то треугольники не образуются.



2. Задача.
В окружности проведена хорда; и через один из концов хорды проходит касательная к окружности. Вычислить угол, составленный касательной и хордой, если хорда делит окружность в отношении 5:7.

2. Решение.
Пусть O - центр данной окружности и AB - ее хорда. Обозначим через x1/5 угловой величины меньшей из дуг с концами в точках A и B. Тогда величина большей из дуг равна 7x, а так как объединение этих двух дуг есть полная окружность, 5x + 7x = 360°, откуда x = 30°. Следовательно, величина меньшего из углов AOB равна 150°, а тогда из рассмотрения равнобедренного треугольника ABO получаем, что угол BAO равен 15°. Касательная к окружности, проходящая через точку A, перпендикулярна радиусу OA и, следовательно, образует с хордой AB угол 75°.

2. Ответ: Ответ: 75°.



3. Задача.
Стороны данного треугольника имеют длины a = 7, b = 9, c = 15. Возможно ли составить треугольник, сторонами которого являются высоты данного треугольника?

3. Решение.
Пусть ha, hb, hc - высоты данного треугольника, проведенные к сторонам a, b, c соответственно. Тогда a·ha = b·hb = c·hc = 2SD, откуда

hc =   aha
c
  =   7
15
ha;    hb =   aha
b
  =   7
9
ha.
Таким образом, из трех отрезков ha, hb, hc отрезок ha - наибольший, кроме того
hb+hc =   56
45
ha > ha,
поэтому из отрезков ha, hb, hc можно составить треугольник.



4. Задача.
Площадь треугольника, один из углов которого равен разности двух других, равна площади квадрата, сторона которого совпадает с одной из сторон этого треугольника. Найти углы данного треугольника.

4. Решение.
Пусть a, b, g - углы данного треугольника и пусть a = b-g. Поскольку a+b+g = p, получаем g-b+b+g = p, откуда g = p/2, т.е. данный треугольник является прямоугольным.

Обозначим через a, b, c - длины сторон, противолежащих углам a, b, g соответственно. Тогда SD = ab/2. По условию, выполняется одно из трех равенств: SD = a2, или SD = b2, или SD = c2. Однако SD = ab/2 < cc/2 < c2, поэтому SD = a2 или SD = b2. Пусть, для определенности SD = a2. Отсюда a2 = ab/2, т.е. b = 2a. Кроме того, a2+b2 = c2, поэтому 5a2 = c2, т.е. a = c/ Ц5, b = 2c/ Ц5, отсюда sina = a/c = 1/ Ц5, sinb = b/c = 2/ Ц5.

4. Ответ:

a = arcsin 1
Ц5
, b = arcsin 2
Ц5
, g = p/2.




5. Задача.
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, заключенная между ними, равна 5.

5. Решение.
Задачи по геометрии. Решения. Пусть M - середина стороны BC треугольника ABC и |AB| = 6, |AC| = 8 и |AM| = 5. Достроим данный треугольник до параллелограмма ABDC (см.рис.). Из равенства треугольников AMC и BMD получаем SABC = SABD. Треугольник ABD прямоугольный, покольку 62+82 = 102. Отсюда искомая площадь равна 24. Ответ: SABC = 24.





6. Задача (9 кл.)
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота CH. Из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на стороны BC и AC соответственно. Доказать, что треугольники ABC и CNM подобны.

6. Решение.
Построим окружность на отрезке CH как на диаметре. Точки M и N окажутся лежащими на этой окружности как вершины прямых углов, опирающихся на диаметр. Тогда РACH = РHMN как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Поскольку DACH прямоугольный, имеем РHAC = 90°-РHCA, откуда РNMC = 90° - РHMN = 90°-РHCA = РHAC. Угол ACB в треугольниках ABC и CNM общий, и, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам.



7. Задача (9 кл.)
В правильном восьмиугольнике ABCDEFGH точка K - середина стороны EF, а M - середина CD. Найти угол между прямыми AK и GM.

7. Решение.
При повороте восьмиугольника на угол 90° относительно точки пересечения его диагоналей он переходит сам в себя, причем точка K переходит в точку M, а точка A переходит в точку G. Таким образом, после поворота прямая (AK) переходит в прямую (GM), а, значит, до поворота угол был равен 90°.



8. Задача (10 кл.)
В прямоугольном треугольнике ABC (РC = 90°) с катетами 3 и 4 провели высоту CH. В получившиеся треугольники ACH и BCH вписали две окружности, которые касаются CH в точках K и L. Найти длину отрезка KL.

8. Решение.
Решения задач по геометрии Пусть |AC| = 4 и |BC| = 3. Тогда |BH| = 9/5 и |AH| = 16/5. Обозначим через r1 и r2 (r1 > r2) радиусы окружностей, вписанных соответственно в треугольники ACH и BCH. Нетрудно заметить, что расстояние между точками касания этих окружностей с высотой [CH] равно разности r1-r2. Известно, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен разности между полупериметром этого треугольника и его гипотенузой. Отсюда r1-r2 = (|BC|+|AH|-|AC|-|BH|)/2 = 0,2.

8. Ответ: |KL| = 0,2.



9. Задача.
На основании равнобедренного треугольника, равном 8, как на хорде, построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найти радиус окружности, если длина высоты, проведенная к основанию треугольника, равна 3.

9. Решение.
Прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, является и его медианой, следовательно, она является срединным перпендикуляром к хорде, и поэтому проходит через центр окружности. Обозначим исходный треугольник через ABC (AC - основание), через M - середину AC, через O - центр окружности. В прямоугольном треугольнике BOC высота CM является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу, поэтому |MO| = |MC|2/|BM| = 16/3. Из прямоугольного треугольника OCM по теореме Пифагора получаем, что |OC|2 = |OM|2+|MC|2 = (20/3)2.

9. Ответ: радиус равен 20/3.



10. Задача.
Площадь ромба равна S, а сумма его диагоналей равна m. Найти сторону ромба.

10. Решение.
Обозначим искомую сторону ромба через a, а половины диагоналей через b и c. Тогда S = 2bc и m = 2(b+c). Получаем
a2 = b2+c2 = (b+c)2-2bc = m2
4
-S.

10. Ответ: a = (m2/4-S)1/2.



Мобильная версия © 2005–2017 «Ваш репетитор» – Москва 88005057283
88005057284