1. Задача.
Дано двузначное число. Если сумму квадратов его цифр разделить на сумму его цифр, то получится 4 и в остатке 1. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, составляет 208% данного числа. Найти данное число.
1. Решение.
Пусть x - первая цифра числа, а y - вторая. Тогда само число равно 10x + y, а число, записанное теми же числами, но в обратном порядке, равно 10y + x. Из условия получаем систему уравнений
2. Задача.
Доказать, что дробь
несократима ни при каких натуральных значениях n.
2. Решение.
Заметим, что числитель данной дроби (впрочем, как и знаменатель) - нечетное число. С другой стороны, так как 56(48n+1)-48(56n+1) = 56-48 = 8, то общими делителями чисел 48n+1 и 56n+1 могут быть только делители числа 8. Таким образом, единственным общим делителем чисел 48n+1 и 56n+1 служит число 1, что и означает несократимость дроби
3. Задача.
Докажите, что число 1242+942 делится на 15.
3. Решение.
Достаточно доказать, что это число A = 1242+942 делится на 3 и на 5. Первое очевидно, поскольку 12 и 9 кратны трем. Проверим теперь, что A оканчивается на 5. Из представления 1242 = 14421 = 14420·144 заключаем, что последней цифрой 1242 является 4 (14420 оканчивается на 6). Последняя цифра числа 942 = 8121 равна 1. Поэтому сумма 1242 и 942, т.е. число A, кратно 5. Утверждение доказано.
4. Задача.
Имеется две кучки камней: в одной - 1998, в другой - 2000. За ход разрешается убрать любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. Докажите, что при игре вдвоем, первый имеет выигрышную стратегию (т.е. для делающего первый ход можно написать конечный набор правил, следуя которым, он обязательно выиграет).
4. Решение.
Первым своим ходом первый игрок должен уравнять количество камней в кучках, т.е. взять два камня из второй кучки. Затем на любой ход соперника он должен отвечать "симметричным" ходом - брать столько же камней сколько и соперник, но только из другой кучки. Нетрудно заметить, что эта стратегия обеспечит выигрыш первого игрока при условии, если второй игрок на каждом своем ходу будет брать ненулевое количество камней из какой-либо кучки.
5. Задача (9 кл.)
Сравнить числа 832 и 2823.
5. Решение.
Требуемое решение получается из следующей цепочки равенств и неравенств:
Стало быть, 832 < 2823.
6. Задача (9 кл.)
Смешали 30% раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько грамм каждого раствора было взято?
6. Решение.
Пусть x,y - вес первого и второго растворов в граммах. Вес чистого хлороводорода в первом растворе равен 0,3x, а во втором - 0,1y. Всего в 600 граммах полученного раствора 0,15·600 = 90 граммов чистого хлороводорода. Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
Решая ее, находим x = 150, y = 450.
6. Ответ: 150 г, 450 г.
7. Задача (10 кл.)
Известно, что сумма двух целых чисел равна 1244. Если к первому числу приписать справа цифру 3, а во втором числе отбросить последнюю цифру 2, то полученные числа будут равны. Найдите эти числа.
7. Решение.
Обозначив через x и y соответственно первое и второе число, запишем условия задачи в виде системы уравнений
Из этой системы легко получить x = 12 и y = 1232.
7. Ответ: 12 и 1232.
8. Задача.
Петя отдыхал в пионерском лагере. После смены он сказал, что в их отряде у каждого было либо 4, либо 5 друзей, причем детей, у которых было 5 друзей, то ли 7, то ли 8. Сколько на самом деле было детей, у которых было по 5 друзей, 7 или 8?
8. Решение.
Обозначим количество детей, у которых было 5 друзей, через x, а количество детей, у которых было 4 друга, через y. Обозначим точками на плоскости каждого ребенка, и соединим отрезками те точки, которые соответствуют дружащим между собой детям. Подсчитаем двумя способами количество концов в проведенных отрезках. С одной стороны, из каждой точки выходит либо 4, либо 5 отрезков, поэтому всего концов отрезков равно 5x+4y. С другой стороны, количество концов отрезков равно 2n, где n - количество всех проведенных отрезков. Значит, 5x+4y = 2n, откуда x - четное число. Значит, из двух приведенных вариантов возможен только ответ 8.
8. Ответ: по пять друзей было у восьми детей.
Дано двузначное число. Если сумму квадратов его цифр разделить на сумму его цифр, то получится 4 и в остатке 1. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, составляет 208% данного числа. Найти данное число.
1. Решение.
Пусть x - первая цифра числа, а y - вторая. Тогда само число равно 10x + y, а число, записанное теми же числами, но в обратном порядке, равно 10y + x. Из условия получаем систему уравнений
Из второго уравнения после приведения подобных получаем y = 5x/2, а после подстановки этого значения y в первое уравнение и приведения подобных получаем квадратное уравнение для x:
29x2 - 56x - 4 = 0.
Это уравнение имеет два корня: x1 = 2 и
x2 = -2/29. Но значение x в нашей
задаче должно быть целым неотрицательным числом, меньшим 10. Поэтому
второй корень отбрасывается, как не имеющий смысла в условиях нашей
задачи, а для значения x = 2 получаем из второго
уравнения системы значение y = 5.
1. Ответ: искомое число равно 25.
2. Задача.
Доказать, что дробь
| 48n+1 56n+1 |
несократима ни при каких натуральных значениях n.
2. Решение.
Заметим, что числитель данной дроби (впрочем, как и знаменатель) - нечетное число. С другой стороны, так как 56(48n+1)-48(56n+1) = 56-48 = 8, то общими делителями чисел 48n+1 и 56n+1 могут быть только делители числа 8. Таким образом, единственным общим делителем чисел 48n+1 и 56n+1 служит число 1, что и означает несократимость дроби
| 48n+1 56n+1 |
3. Задача.
Докажите, что число 1242+942 делится на 15.
3. Решение.
Достаточно доказать, что это число A = 1242+942 делится на 3 и на 5. Первое очевидно, поскольку 12 и 9 кратны трем. Проверим теперь, что A оканчивается на 5. Из представления 1242 = 14421 = 14420·144 заключаем, что последней цифрой 1242 является 4 (14420 оканчивается на 6). Последняя цифра числа 942 = 8121 равна 1. Поэтому сумма 1242 и 942, т.е. число A, кратно 5. Утверждение доказано.
4. Задача.
Имеется две кучки камней: в одной - 1998, в другой - 2000. За ход разрешается убрать любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. Докажите, что при игре вдвоем, первый имеет выигрышную стратегию (т.е. для делающего первый ход можно написать конечный набор правил, следуя которым, он обязательно выиграет).
4. Решение.
Первым своим ходом первый игрок должен уравнять количество камней в кучках, т.е. взять два камня из второй кучки. Затем на любой ход соперника он должен отвечать "симметричным" ходом - брать столько же камней сколько и соперник, но только из другой кучки. Нетрудно заметить, что эта стратегия обеспечит выигрыш первого игрока при условии, если второй игрок на каждом своем ходу будет брать ненулевое количество камней из какой-либо кучки.
5. Задача (9 кл.)
Сравнить числа 832 и 2823.
5. Решение.
Требуемое решение получается из следующей цепочки равенств и неравенств:
| 832 < 932 = 364 < 366 = 2722 < 2823. |
Стало быть, 832 < 2823.
6. Задача (9 кл.)
Смешали 30% раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько грамм каждого раствора было взято?
6. Решение.
Пусть x,y - вес первого и второго растворов в граммах. Вес чистого хлороводорода в первом растворе равен 0,3x, а во втором - 0,1y. Всего в 600 граммах полученного раствора 0,15·600 = 90 граммов чистого хлороводорода. Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
| м н о |
x+y = 600 0,3x + 0,1y = 90 |
Решая ее, находим x = 150, y = 450.
6. Ответ: 150 г, 450 г.
7. Задача (10 кл.)
Известно, что сумма двух целых чисел равна 1244. Если к первому числу приписать справа цифру 3, а во втором числе отбросить последнюю цифру 2, то полученные числа будут равны. Найдите эти числа.
7. Решение.
Обозначив через x и y соответственно первое и второе число, запишем условия задачи в виде системы уравнений
| м н о |
x+y = 1244 10x+3 = (y-2)/10 |
Из этой системы легко получить x = 12 и y = 1232.
7. Ответ: 12 и 1232.
8. Задача.
Петя отдыхал в пионерском лагере. После смены он сказал, что в их отряде у каждого было либо 4, либо 5 друзей, причем детей, у которых было 5 друзей, то ли 7, то ли 8. Сколько на самом деле было детей, у которых было по 5 друзей, 7 или 8?
8. Решение.
Обозначим количество детей, у которых было 5 друзей, через x, а количество детей, у которых было 4 друга, через y. Обозначим точками на плоскости каждого ребенка, и соединим отрезками те точки, которые соответствуют дружащим между собой детям. Подсчитаем двумя способами количество концов в проведенных отрезках. С одной стороны, из каждой точки выходит либо 4, либо 5 отрезков, поэтому всего концов отрезков равно 5x+4y. С другой стороны, количество концов отрезков равно 2n, где n - количество всех проведенных отрезков. Значит, 5x+4y = 2n, откуда x - четное число. Значит, из двух приведенных вариантов возможен только ответ 8.
8. Ответ: по пять друзей было у восьми детей.
