1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение
(a - 1)x2 + 2x + a - 1 = 0
имеет ровно один корень?
1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a
4a2 - 8a = 0,
откуда a = 0 или a = 2.
1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.
2. Задача.
Найти все значения параметра a, при которых имеет два различных корня уравнение
x2+4ax+8a+3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x2+4ax+8a+3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a2-4(8a+3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a2-8a-3 > 0, откуда
2. Ответ:
3. Задача.
Известно, что
f2(x) = 6x-x2-6.
а) Постройте график функции f1(x) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f1(x) и f2(x) имеют единственную общую точку?
3. Решение.
3.а. Преобразуем f1(x) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx+b и y = ax2+bx+c (a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx+b = ax2+bx+c имеет единственный корень. Используя представление f1 из 3.а, приравняем дискриминант уравнения a = 6x-x2-6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x-a = 6x-x2-6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.
4. Задача.
Найти все значения a, при которых множество решений неравенства x2-2ax-3a і 0 содержит отрезок [3;6].
4. Решение.
Первая координата вершины параболы f(x) = x2-2ax-3a равна x0 = a. Из свойств квадратичной функции условие f(x) і 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем
Решением первой системы является множество (-Ґ,1]. Вторая и третья система решений не имеют.
4. Ответ: a О (-Ґ,1].
5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение
имеет ровно два решения?
5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a2+a-6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.
5. Ответ: 3.
6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a, при которых график функции
проходит через точку с координатами (-1;1).
6. Решение.
Из условия f(-1) = 1 имеем уравнение
или, после очевидных преобразований, a-2 = |2-a|. Последнее
уравнение равносильно неравенству a і 2.
6. Ответ: a О [2;Ґ).
7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения
больше чем 12?
7. Решение.
Дискриминант уравнения x2-2ax+a2-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 = a2-a. Отсюда x12+x22 = (x1+x2)2-2x1·x2 = 2a2+2a. Решениями неравенства 2a2+2a > 12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a > 2.
7. Ответ: a > 2.
При каких значениях параметра a уравнение
1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a
1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.
2. Задача.
Найти все значения параметра a, при которых имеет два различных корня уравнение
2. Решение.
Уравнение x2+4ax+8a+3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a2-4(8a+3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a2-8a-3 > 0, откуда
| a < 1 – | Ц7 2 |
или a > 1 + | Ц7 2 |
2. Ответ:
| a О (-Ґ; 1 – | Ц7 2 |
) И (1 + | Ц7 2 |
; Ґ). |
3. Задача.
Известно, что
f2(x) = 6x-x2-6.
а) Постройте график функции f1(x) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f1(x) и f2(x) имеют единственную общую точку?
3. Решение.
3.а. Преобразуем f1(x) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx+b и y = ax2+bx+c (a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx+b = ax2+bx+c имеет единственный корень. Используя представление f1 из 3.а, приравняем дискриминант уравнения a = 6x-x2-6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x-a = 6x-x2-6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.
4. Задача.
Найти все значения a, при которых множество решений неравенства x2-2ax-3a і 0 содержит отрезок [3;6].
4. Решение.
Первая координата вершины параболы f(x) = x2-2ax-3a равна x0 = a. Из свойств квадратичной функции условие f(x) і 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем
| м н о | a Ј 3, f(3) = 9-9a і 0, |
м н о | 3 < a < 6, D = 4a2+12a Ј 0, |
м н о | a і 6, f(6) = 36-15a і 0. |
Решением первой системы является множество (-Ґ,1]. Вторая и третья система решений не имеют.
4. Ответ: a О (-Ґ,1].
5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение
| x2+2ax-3a+7 = 2x |
имеет ровно два решения?
5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a2+a-6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.
5. Ответ: 3.
6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a, при которых график функции
| f(x) = | x2+|ax+2| a-1 |
6. Решение.
Из условия f(-1) = 1 имеем уравнение
| 1 = | 1+|-a+2| a-1 |
, |
6. Ответ: a О [2;Ґ).
7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения
| x2-2ax+a2-a = 0 |
7. Решение.
Дискриминант уравнения x2-2ax+a2-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 = a2-a. Отсюда x12+x22 = (x1+x2)2-2x1·x2 = 2a2+2a. Решениями неравенства 2a2+2a > 12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a > 2.
7. Ответ: a > 2.
