Ваш репетитор
 



8 (495) 540-56-76
8 (800) 555-56-76
Часы работы:
с 06:00 до 22:00


«Ваш репетитор» рекомендует:

Немеш
Норберт Тиборович
математика, высшая математика, математический анализ Образование: аспирантура МГУ им. М.В. Ломоносова, ...

Мокеев
Михаил Викторович
математика, физика, английский Кандидат физико-математических наук (2003 г.). Образование: МГУ, физический ...

Хандрос
Михаил Гершович
репетитор по математике Кандидат технических наук (1983 г.). Образование: Московский институт ...

Фельдман
Инна Владимировна
репетитор по математике Высшая квалификационная категория. Образование: МГУ им. М.В. Ломоносова, ...

Приходько
Александр Яковлевич
математика, химия, математический анализ Кандидат химических наук. Образование: МГУ ...

Чахкиев
Магомет Абдулгамидович
математика, высшая математика, математический анализ Доктор физико-математических наук. Профессор.  ...

Кузнецова
Наталия Юрьевна
репетитор по математике Образование: МГГУ (МГОПУ) им. М.А. Шолохова, физико-математический факультет, ...

Рыбаченко
Светлана Васильевна
репетитор по математике Образование: МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, ...



Лучшие преподаватели по математике

Курьянович
Эдуард Анатольевич
математика, физика, высшая математика, математический анализ Образование: МИФИ, факультет экспериментальной ...

Вуль
Владислав Аркадьевич
математика, высшая математика, математический анализ Образование: аспирантура кафедры механики ...

Фаталов
Сурен Роландович
репетитор по математике, высшей математике Образование: Ереванский государственный университет ...

Тарасюк
Григорий Михайлович
репетитор по математике, физике Образование: НИЯУ МИФИ, факультет теоретической ...


Задачи с параметром

1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение
(a - 1)x2 + 2x + a - 1 = 0
имеет ровно один корень?

1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a  1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a
4a2 - 8a = 0,
откуда a = 0 или a = 2.

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.



2. Задача.
Найти все значения параметра a, при которых имеет два различных корня уравнение
x2+4ax+8a+3 = 0.

2. Решение.
Уравнение x2+4ax+8a+3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a2-4(8a+3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a2-8a-3 > 0, откуда
a < 1 –   Ц7
 2
   или    a > 1 +   Ц7
 2


2. Ответ:
a О (-Ґ; 1 –   Ц7
 2
) И (1 +   Ц7
 2
; Ґ).




3. Задача.
Известно, что

f2(x) = 6x-x2-6.

а) Постройте график функции f1(x) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f1(x) и f2(x) имеют единственную общую точку?

3. Решение.
3.а. Преобразуем f1(x) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx+b и y = ax2+bx+c (a 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx+b = ax2+bx+c имеет единственный корень. Используя представление f1 из 3.а, приравняем дискриминант уравнения a = 6x-x2-6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x-a = 6x-x2-6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.



4. Задача.
Найти все значения a, при которых множество решений неравенства x2-2ax-3a і 0 содержит отрезок [3;6].

4. Решение.
Первая координата вершины параболы f(x) = x2-2ax-3a равна x0 = a. Из свойств квадратичной функции условие f(x) і 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем
м
н
о
  a Ј 3,

f(3) = 9-9a і 0,
    м
н
о
  3 < a < 6,

D = 4a2+12a Ј 0,
    м
н
о
  a і 6,

f(6) = 36-15a і 0.

Решением первой системы является множество (-Ґ,1]. Вторая и третья система решений не имеют.

4. Ответ: a О (-Ґ,1].



5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение
x2+2ax-3a+7 = 2x

имеет ровно два решения?

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a2+a-6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.

5. Ответ: 3.



6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a, при которых график функции
f(x) = x2+|ax+2|
a-1
проходит через точку с координатами (-1;1).

6. Решение.
Из условия f(-1) = 1 имеем уравнение

1 = 1+|-a+2|
a-1
,
или, после очевидных преобразований, a-2 = |2-a|. Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.

6. Ответ: a О [2;Ґ).



7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения
x2-2ax+a2-a = 0
больше чем 12?

7. Решение.
Дискриминант уравнения x2-2ax+a2-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 = a2-a. Отсюда x12+x22 = (x1+x2)2-2x1·x2 = 2a2+2a. Решениями неравенства 2a2+2a > 12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a > 2.

7. Ответ: a > 2.



Мобильная версия © 2005–2017 «Ваш репетитор» – Москва 88005057283
88005057284