Геометрическая сказка для девятиклассников «В мире площадей»

Впервые ученики встречаются с площадью в начальной школе. Затем это понятие появляется в 6-м классе при нахождении площади круга. И, наконец, более подробно и систематично данная тема изучается в курсе геометрии 9-го класса, где выводятся формулы для вычисления площадей уже хорошо знакомых фигур: треугольника, параллелограмма, круга. И тем не менее у многих учеников складывается представление, что площадь связана только с такими «стандартными» фигурами, как квадрат, треугольник, круг. Чтобы развеять у девятиклассников это обманчивое мнение, надо решать больше задач на нахождение площадей нестандартных фигур.

Слушая математическую сказку, будем решать задачи на нахождение площадей разных геометрических фигур.

Для того, чтобы вырастить цветок, нужно вспахать землю и бросить в нее зерно. Только благодаря заботе и должному уходу можно вырастить то, что потом будет радовать глаз красотой и совершенством. Давайте и мы бросим «зерно мысли» в поле площадей. Для начала найдем площадь «зерна», расположенного в квадрате с длиной стороны а (рис. 1). Это и будет задача 1.

Замечание. Далее во всех приведенных задачах сохраняются названные измерения квадрата.

Итак, в задаче 1 требуется определить площадь фигуры, изображенной на рис. 1. Так как формулировки задач понятны из самого содержания сказки, то в дальнейшем будем лишь приводить номера задач и ответы к ним.

Но только ли одно зернышко может уместиться в нашем квадратном поле? Нельзя ли расположить в нем четыре зернышка? Как видно из рис. 2, это вполне возможно. Глядя на рисунок, подумалось, а может это вовсе и не зернышки, а контуры будущего цветка? Определим его площадь, решая задачу 2.

Интересно, что ответы в первых двух задачах получились одинаковые. Но впереди еще много таинственных неожиданностей. Бросая зерна в землю, мы и не заметили, что одно «зернышко» легло в землю не так, как хотелось бы (рис. 3). Вырастет ли из него цветок? Наше зернышко легло в землю неровно, может быть, поэтому и задача 9 получилась труднее предыдущих.

Преодолеть возникшие трудности поможет опыт, накопленный в начале пути. Вновь будем использовать хорошо знакомые фигуры: квадрат, круг и их части.

Изрядно потрудившись с последней задачей, надо бы отдохнуть. Приложим голову к «подушке» (рис. 4), а заодно найдем ее площадь. Вот и задача 4.

Решив эту задачу и заснув на подушке, мы погрузились в сказочный сон. На голубом живописном небе повисли воздушные белоснежные облака. Они уносились вдаль, превращаясь в грациозных тонких лебедей. Потом приближались, напоминая легкие парусники, гонимые попутным ветром. Причудливые невесомые формы так быстро изменялись, словно скрывали величину своих площадей. Мы всматривались в лазурную голубизну неба, летали, касаясь теплого белого покрывала. И было непостижимо приятно погружаться в его мягкую прозрачную ткань. И все-таки нам захотелось домой — на землю. Вдруг откуда ни возьмись появился парашют (рис. 5). Он оказался очень кстати. Мы медленно спускались с парашютом, по ходу движения решая задачу 5.

С высоты птичьего полета захватывало дух. Сердце наполнялось новыми ощущениями и от этого казалось очень большим (рис. 6). Оно трепетно волновалось и замирало от нахлынувших впечатлений. Один из наших путешественников обнаружил у себя необыкновенные способности определить площадь невидимого сердца. Это и была задача 6.

Внизу простирались зеленые леса и голубые озера. Волшебные белокрылые птицы летали над раскидистыми деревьями. Приближаясь к земле, мы заметили на поверхности прозрачного голубого озера серебристую рыбку, которая весело плескалась в воде. Игривая рыбка поразила нас своей изящной формой (рис. 7). Она заставила задуматься о площади «рыбки» и решить задачу 7.

Спрыгнув на берег озера и в последний раз посмотрев на уплывающую рыбку, мы заметили неподалеку красивый домик, похожий на грибок (рис. 8). Дом стоял на высоком холме. Солнечные лучи грели его хрустальную крышу, отражаясь от нее сотнями золотых бликов. Необъяснимая сила тянула к «грибку». Это было желание поскорее найти площадь домика и мы стали решать задачу 8.

Мы восхищались волшебным домиком с томительным упоением. Но казалось, что хрустальный дворец вот-вот исчезнет.

Прошло какое-то время, прежде чем нам удалось все отчетливо рассмотреть. Из дома вышла улыбающаяся девушка в разноцветном «фартуке» (рис. 9). У нее была приветливая лучистая улыбка, добрый завораживающий взгляд. Познакомившись с хозяйкой дома (у нее было необычное имя Площания), мы стали рассказывать ей о проделанном путешествии и, незаметно окинув взором фартук, нашли его площадь. Это была задача 9.

Потом сидели за большим круглым столом (площадь круга мы хорошо знали), принимали угощения Площании, решали задачи, рассказывали о себе. Нам очень не хотелось уходить из этого теплого, уютного и красивого дома с хрустальной крышей. Но надо было торопиться домой. Еще раз посмотрев на домик-«грибок», мы устремились вперед по песчаной дорожке, ведущей к озеру. На пути увидели квадратную клумбу (как хорошо известна нам была ее площадь). На клумбе рос один единственный цветок (рис. 10). Он был удивительно симметричным и совсем не походил на другие земные цветы. Теперь нам стало понятно, что все кругом состояло из волшебно-геометрических фигур. Восторгаясь творениями неизвестного сказочника, мы определили элементы симметрии цветка — центр и ось симметрии — и нашли его площадь — задача 10.

Найденный результат поразил всех, даже самых заядлых путешественников. Площадь цветка была в точности равна половине площади квадрата, форму которого имела клумба. Сначала мы в это не поверили и несколько раз пересчитывали результат. Он восхитил нисколько не меньше, чем красота волшебного растения.

Вокруг росли и другие необычные цветы. Они наполняли воздух кружащим голову ароматом. Яркие бабочки летали над цветами, как будто хвалясь перед ними своей совершенной формой. Все кругом дышало покоем, простотой и гармонией. И нам так не хотелось возвращаться из этой удивительной геометрической сказки...