Мехмат МГУ (2001)

25 марта 2001г.

Задания мартовской олимпиады

механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова

Вариант 01-3-1

1. Решить уравнение

$3x-2|x-2| = 3\sqrt{3x+18} - 2|\sqrt{3x+18}-2|.$

2. Решить неравенство

$\frac{\log_{(21+4x-x^2)}(7-x)}{\log_{(x+3)}(21+4x-x^2)} < \frac{1}{4}$

3. В трапеции $ABCD$ с боковой стороной $CD=30$ диагонали пересекаются в точке $E$ , а углы $AED$ и $BCD$ равны. Окружность радиуса 17, проходящая через точки $C, D$ и $E$ , пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF$ . Найти высоту трапеции и ее основания.

4. Можно ли подобрать числа $A,B,\varphi, \psi$ так, чтобы выражение

$(\sin(x-\frac{\pi}{3})+2)^2 + A\cos(x+\varphi) + B\sin(2x+\psi)$

принимало при всех $x$ одно и то же значение С? Если да, то какие значения может принимать константа С?

5. Основанием прямой призмы $ABCA'B'C'$ с высотой $\frac{4}{7}$ служит треугольник $ABC$ , в котором $AB=BC=1$ и $AC = \frac{3}{7}$ . Через точку пересечения диагоналей грани $ACC'A'$ на расстоянии $\frac{4}{13}$ от точки $A$ проводится плоскость, делящая объем призмы пополам. Какова наибольшая площадь сечения призмы такой плоскостью?

6. Найти все значения $a$ , при которых система

$\left\{ \begin{array}{rcl} (a-1)x^2 + 2ax+a+4&\le& 0\ ax^2+2(a+1)x+a+1&\ge&0\ \end{array} \right.$

имеет единственное решение.