Ваш репетитор
 



8 (495) 540-56-76
8 (800) 555-56-76
Часы работы:
с 08:00 до 22:00


«Ваш репетитор» рекомендует:

Толпыго
Денис Сергеевич
математика, физика, высшая математика, математический анализ Образование: МГУ им. М.В. Ломоносова, физический ...

Борисов
Илья Сергеевич
репетитор по химии Образование: МГУ им. М.В. Ломоносова, химический факультет, аспирантура ...

Рыбаченко
Светлана Васильевна
репетитор по математике Образование: МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, ...

Туринге
Андрей Арисович
репетитор по математике, физике Кандидат физико-математических наук (1985 ...

Медведев
Федор Александрович
репетитор по математике, физике Окончил физический факультет МГУ им. М.В. ...

Поволоцкая
Ирина Сергеевна
репетитор по английскому языку, французскому языку Образование: ВГУ, факультет романо-германской ...

Окин
Анатолий Александрович
математика, физика, информатика Окончил МГУ им. М.В. Ломоносова, специальность ...

Вульф Маркус репетитор по немецкому языку Носитель немецкого языка (Германия). Образование: Университет Штутгарта ...



Форум преподавателей «Ваш репетитор»

Вопрос-Ответ  →  Раздел «Математика, физика, информатика, экономика»  →  Тема «ЕГЭ 2012 по математике.»
Сейчас онлайн:
1.SolinMV
2.ZagurskayaNV
3.KimLS
4.MileshinAV
5.GrishinaTV4
6.VengrzhanovskayaIV
7.VohmyakovaIV
ЕГЭ 2012 по математике.
В этой теме будут выложены решения задач части C из прошедшего сегодня экзамена.
↓↓ +44 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   07 июн 2012 20:38   »»


С4
В треугольнике ABC известны стороны: AB=7, BC=8, AC=9. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.
↓↓ +24 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   07 июн 2012 20:45   «« #2 »»   Ответить


Первый случай.
Т.к. четырехугольник AKLC является описанным, то выполняется равенство

Треугольники KBL и ABC подобны, а значит

Из трех полученных уравнений несложно найти отрезок KL, который будет равен .
↓↓ +42 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   07 июн 2012 20:55   «« #3 »»   Ответить


Выльем воды из чайника и сведем первый случай ко второму.

Для этого проведем касательную К1L1 к вписанной окружности, параллельную AC.

Тогда K1BL1 подобен KBL и у них есть общая вневписанная окружность — значит они равны --> KL=K1L1, которая легко находится.
↓↓ +8 ↑↑   Anonimus Vulgaris (1607 / 659)   08 июн 2012 04:56   «« #7 »»   Ответить


Другое решение для этого случая.
Пусть — центр вписанной окружности, — точки касания с отрезками соответственно.

1) По стандартным формулам (через площадь и полупериметр) находим радиус вписанной окружности . Так же по стандартной формуле находим .

2) . Это можно легко доказать, используя два факта: а) , б) центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

3) Из подобия треугольников, зная , находим .

4) Аналогично из подобия треугольников находим , и получаем ответ .
↓↓ +17 ↑↑   Мутафян Георгий Семёнович (31565 / 2187)   09 июн 2012 13:21   «« #18 »»   Ответить


Второй случай.
Треугольник ABC подобен треугольнику KBL. Но у этих треугольников оказывается общая вписанная окружность.
Значит эти треугольники равны, а
↓↓ +45 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   07 июн 2012 20:59   «« #4 »»   Ответить


C6
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?
↓↓ +23 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   07 июн 2012 21:25   «« #5 »»   Ответить


Введём обозначения:
— количество девочек в группе,
— количество мальчиков, посетивших кино,
— количество мальиков, посетивших театр,
— общее количество учащихся в группе.

Из первого условия (каждый сходил в кино или в театр) следует неравенство


Из второго условия (доля мальчиков не более от всех, посетивших театр) следует неравенство



(Важно, что это неравенство не эквивалентно условию, а является именно следствием, т.к. в правой части мы вместо девочек, побывавших в театре, пишем полное количество девочек).

Из третьего условия следует неравенство



Подставляя (2) и (3) в (1), получаем



Теперь ответим на вопросы задачи.

Пусть . Из неравенства (4) следует . Т.е. число девочек в группе не может быть меньше 10, а следовательно число мальчиков — не больше 10. Приведём пример, показывающий, что оно может равняться 10. Пусть . Все 10 девочек побывали и в кино и в театре. В кино побывали 7 мальиков, в театре 3 — три оставшихся мальчика. (Т.е. ни один мальчик не был и в кино и в театре). Легко проверить, что все условия выполнены. Итак, ответы на пункты а,б:

а) Может

б) Наибольшее количество мальчиков — 10.

в) Из неравенства (4) следует, что минимальная доля девочек не меньше . Она в точности равна , если . (Пример строится аналогично пункту а.)
Итак, ответ: минимальная доля девочек равна
↓↓ +35 ↑↑   Мутафян Георгий Семёнович (31565 / 2187)   07 июн 2012 23:19   «« #6 »»   Ответить


C5
Найти все значения , при каждом из которых уравнение

на промежутке имеет более двух корней.
↓↓ +18 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   08 июн 2012 11:28   «« #8 »»   Ответить


Учитывая положительность переменной , приведем исходное уравнение к виду

Теперь построим графики левой и правой части, рассматривая только правую полуплоскость. График параболы будет меняться в зависимости от значения параметра .
Заметим, что графики имеют 2 точки пересечения в двух случаях.
1) Парабола проходит через точку излома графика левой части, при этом .
2) Парабола касается правого луча. В этом случае достаточно рассмотреть уравнение и вычислить значение , при котором .
В промежутке между найденными значениями параметра графики будут пересекаться в 3 точках, что и удовлетворяет условию.
Ответ.

P.S. Для просмотра анимации следует нажать на изображение.
↓↓ +22 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   08 июн 2012 11:48   «« #9 »»   Ответить


C3
Решить систему неравенств
↓↓ +10 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   08 июн 2012 19:07   «« #10 »»   Ответить


Проделаем несколько равносильных преобразований с использованием метода рационализации.



После расстановки условий на числовой прямой получится ответ
↓↓ +19 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   08 июн 2012 19:34   «« #11 »»   Ответить


Второй способ решения этой задачи:

Решим первое неравенство. Заменяя , приходим к рациональному неравенству . Решаем его стандартным способом (переносим 4 влево, метод интервалов), получаем ответ или . После обратной замены получаем .

Решим второе неравенство. Оно равносильно совокупности двух систем: или Решая каждую систему, получаем в (2) ответ , в (3) ответ .

Осталось объединить (2) и (3) и взять пересечение с (1). Ответ, естественно, тот же, что и при первом способе решения:

↓↓ +27 ↑↑   Мутафян Георгий Семёнович (31565 / 2187)   08 июн 2012 20:43   «« #12 »»   Ответить


C2
В правильной четырехугольной призме стороны основания равны , а боковые ребра равны . На ребре отмечена точка так, что . Найти угол между плоскостями и .
↓↓ +10 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   08 июн 2012 20:49   «« #13 »»   Ответить


В решении снизу ошибка в первой формуле.
Имеется ввиду
↓↓ +5 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   08 июн 2012 20:54   «« #15 »»   Ответить


Чтобы найти значение угла между плоскостями, воспользуемся следующим фактом:


— параллелограмм.

Для треугольника применим теорему косинусов, откуда найдем
и
Теперь , а

Ответ.
↓↓ +21 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   08 июн 2012 20:51   «« #14 »»   Ответить


Во второй строчке : S ABCD = S BED1F* cos f.



В # 15 исправлено, не всё перечитала. Владислав Аркадьевич, извиняюсь, но теперь с двух сторон поправка :-)


Векторный метод.
Плоскость задается векторами и
Найдем вектор , перпендикулярный плоскости .
Для него будут выполнены следующие соотношения.


Теперь, положив , получим

Чтобы найти значение угла между плоскостями, воспользуемся формулой

Т.о., получаем тот же ответ
↓↓ +20 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   09 июн 2012 02:26   «« #16 »»   Ответить


Ещё один способ решения этой задачи:
пусть — угол между прямой и плоскостью . Тогда — искомый угол между плоскостями.
Для нахождения нужно найти расстояние от точки до плоскости . Тогда . Расстояние найдём через объём пирамиды , вычислив его двумя способами:


Площадь треугольника равна (см вычисления в решении первым способом), откуда находим

искомый угол равен
↓↓ +20 ↑↑   Мутафян Георгий Семёнович (31565 / 2187)   09 июн 2012 12:42   «« #17 »»   Ответить


Второй способ решения задачи С5.
Построим графики левой и правой частей уравнения

в правой полуплоскости.
График прямой будет вращаться, проходя через точку с координатами в зависимости от значения параметра .
Заметим, что графики имеют 2 точки пересечения в двух случаях.
1) Прямая проходит через точку излома графика левой части, при этом .
2) Прямая касается левой части графика В этом случае достаточно рассмотреть уравнение и вычислить значение , при котором .
В промежутке между найденными значениями параметра графики будут пересекаться в 3 точках, что и удовлетворяет условию.
Ответ.

Как видно, решения отличаются совсем незначительно. Разве что, в первом способе чуть проще осуществляется построение графика, так как строятся 2 луча, а не две части гипербол. К тому же, сведение ситуации к "парабола-прямая" является методически более верным шагом, чем к ситуации "гипербола-прямая", так как у ученика всплывают ассоциации с количеством корней квадратного трехчлена и дискриминантом.

P.S. Для просмотра анимации следует нажать на изображение.
↓↓ +26 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   10 июн 2012 10:38   «« #19 »»   Ответить


Не дадим утонуть этой ветке.
↓↓ +15 ↑↑   Овчинникова О. В. (330319 / 18354)   14 июн 2012 21:31   «« #20 »»   Ответить


Еще один способ решения С5. Полагая t=1/x > 0, получим уравнение |5t-4|= a/t-1 или а=|5t^2-4t|+t.
a=-5t^2+5t при 0<t<=4/5 и a=5t^2-3t при t>=4/5.
Первая парабола -5t^2+5t — с вершиной (x,a)=(1/2, 5/4) — возрастает на интервале ]0; 1/2[ и убывает на [1/2,4/5]. Причем a(]0; 1/2[) = ]0, 5/4[ и a([1/2; 4/5]) = [4/5; 5/4].
Вторая парабола 5t^2-3t возрастает на ]4/5, +беск[ и a(]4/5, +беск[) = ]4/5; +беск[.
Осталось найти пересечение всех трех интервалов ]0, 5/4[, [4/5; 5/4] и ]4/5; +беск[.
Ответ: a in ]4/5; 5/4[.


тоже хотелось бы поддержать эту замечательную ветку, поэтому к #23 размещу иллюстрацию:
↓↓ +20 ↑↑   Рамиль (31858 / 3572)   15 июн 2012 23:54   «« #24 »»   Ответить


Вопрос-Ответ  →  Раздел «Математика, физика, информатика, экономика»  →  Тема «ЕГЭ 2012 по математике.»

Чтобы ответить на конкретное сообщение, нужно нажать на ссылку «ответить» справа под самим сообщением.
Эта форма — для ответов на исходное сообщение темы (на всю тему в целом).

Ваше имя (ФИО)
Email
Текст ответа
Мобильная версия © 2005–2018 «Ваш репетитор» – Москва 88005057283
88005057284