Ваш репетитор
 



8 (495) 540-56-76
8 (800) 555-56-76
Часы работы:
с 08:00 до 22:00


«Ваш репетитор» рекомендует:

Мухин
Геннадий Валентинович
математика, физика, высшая математика, математический анализ Кандидат технических наук. Образование: ...

Бойкова
Дарья Валерьевна
обществознание, логика, философия Образование: МГУ, философский факультет, ...

Лобанова
Ольга Александровна
музыка, вокал, сольфеджио, фортепиано Образование: МПГУ (МГПИ им. Ленина), музыкально-педагогический ...

Заленская
Наталья Самуиловна
репетитор по обществознанию, философии Кандидат философских наук (2011 г.). Образование:  ...

Солин
Михаил Владимирович
математика, физика, высшая математика, математический анализ Кандидат физико-математических наук. Доцент ...

Добровольский
Леонид Павлович
репетитор по химии Диплом бакалавра МГПУ, Институт математики, информатики и естественных ...

Амосов
Борис Авенирович
математика, физика, высшая математика, математический анализ Кандидат физико-математических наук (1987 ...

Милешкина
Эмма Аркадьевна
репетитор по английскому языку Образование: МГУ им. М.В. Ломоносова, факультет иностранных языков и регионоведения, ...



Форум преподавателей «Ваш репетитор»

Вопрос-Ответ  →  Раздел «Математика, физика, информатика, экономика»  →  Тема «ЕГЭ 2013 по математике 3 июня. Разбор задач части С.»
Сейчас онлайн:
1.ZagurskayaNV
2.KimLS
3.MileshinAV
4.GrishinaTV4
5.VengrzhanovskayaIV
6.VohmyakovaIV
ЕГЭ 2013 по математике 3 июня. Разбор задач части С.
В этой теме будeт выложены задачи части С, а также их решения, 3 варианта экзамена ЕГЭ по математике прошедшего 03.06.2013.
↓↓ +25 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   04 июн 2013 11:54   »»


C2
В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной стороны основания равны , а боковые ребра равны . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку и середину ребра параллельно прямой .
↓↓ +24 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   04 июн 2013 11:57   «« #2 »»   Ответить


Построение сечения.
Отрезок , где — середина , принадлежит плоскости и пересекает высоту пирамиды в точке .
Так как плоскость сечения параллельна прямой , то проведем прямую через точку в плоскости .
Сечение — искомое.


Нахождение площади сечения.
Основание пирамиды — квадрат, диагональ .
В высота .
Из точки проведем перпендикуляры к отрезкам и , которые попадут в их середины и соответственно.
Из треугольника гипотенуза , так как .
с коэффициентом подобия , потому что .
Тогда , так как .
, следовательно


В четырехугольнике диагонали перпендикулярны. Это следует из того, что прямая .
Таким образом, можно найти площадь .

↓↓ +42 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   04 июн 2013 11:58   «« #3 »»   Ответить


С5
Найти все значения , при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.
↓↓ +13 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   05 июн 2013 00:40   «« #4 »»   Ответить


Решение. Будучи записано в виде



данное уравнение равносильно системе



Уравнение системы после преобразований приобретает вид:



При любых данное уравнение является квадратным. Нам нужно, чтобы оно имело единственный корень, удовлетворяющий неравенству ().

Найдём дискриминант уравнения (1) (выкладки здесь и далее опускаются):



Дискриминант неотрицателен (и, соответственно, уравнение (1) имеет корни) при



Рассмотрим сначала случай . Тогда или . При этих уравнение (1) имеет единственный корень



С этим неравенство () примет вид:



Ясно, что удовлетворяет данному неравенству, — нет. Таким образом, подходит.

Перейдём к случаю , то есть . Уравнение (1) имеет два корня; иными словами, функция



обращается в нуль в двух различных точках и .

Нам нужно, чтобы ровно одна из этих точек удовлетворяла неравенству (). Ясно, что так будет, если точка лежит между и или совпадает с :



Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Поэтому условие



равносильно условию



Подставляя в (2) и преобразуя полученное неравенство, придём к неравенству



решения которого:



Абсцисса вершины параболы:



Условие равносильно системе:



Решениями уравнения данной системы служат и . Неравенство данной системы преобразуется к виду



которому удовлетворяет лишь .

Объединяя найденные решения, получаем ответ:

.
↓↓ +48 ↑↑   Яковлев Игорь Вячеславович (39992 / 1492)   05 июн 2013 08:28   «« #5 »»   Ответить


Второй способ

Запишем уравнение в виде

левую и правую части приравняем к , преобразовав уравнение в систему

возведением в квадрат преобразовывается в уравнение окружности
C учетом условия , графиком уравнения будет являться полуокружность с центром в точке и радиусом .
Уравнение задает график прямой, проходящей через точку и меняющей коэффициент угла наклона, равный .

При прямая параллельна и касается полуокружности в точке , а значит исходное уравнение имеет единственное решение. При увеличение коэффициента угла наклона прямая пересекает полуокружность в двух точках до тех пор, пока не преодолеет положение, где она проходит через точку . Далее сохраняется одно решение вплоть до прохождения прямой через точку . Во всех остальных положениях прямая и полуокружность общих точек не имеют.
Для нахождения значения подставим координаты соответствующих точек в уравнение прямой.


Таким образом исходное уравнение имеет единственное решение, если
↓↓ +49 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   05 июн 2013 12:03   «« #6 »»   Ответить


C1
а) Решить уравнение
б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
↓↓ +11 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   05 июн 2013 12:24   «« #7 »»   Ответить


а)
Разделив исходное уравнение на , получим


Разделив уравнение на , будем иметь



б)
Из указанного набора решений в интервал, проиллюстрированный на рисунке, попадает 2 корня.
При
при
↓↓ +17 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   05 июн 2013 12:40   «« #8 »»   Ответить


C3
Решить систему неравенств:
↓↓ +13 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   05 июн 2013 13:01   «« #9 »»   Ответить


Решение. Начнём со второго неравенства (ибо если его решения окажутся, например, , то решать первое неравенство смысла нет — тогда система не имеет решений). Преобразуем:




Решения полученного неравенства находим методом интервалов:



Переходим ко второму неравенству системы. Преобразуем его:




Ввиду монотонного возрастания функции последнее неравенство равносильно системе:



Эта система легко решается:



Остаётся пересечь множества в рамочках и получить ответ:

↓↓ +29 ↑↑   Яковлев Игорь Вячеславович (39992 / 1492)   05 июн 2013 13:13   «« #10 »»   Ответить


В последней системе выпало одно неравенство. Должно быть так:



Далее по тексту.
↓↓ +17 ↑↑   Яковлев Игорь Вячеславович (39992 / 1492)   05 июн 2013 13:44   «« #11 »»   Ответить


C4
Окружности радиусов и с центрами и соответственно касаются в точке . Прямая, проходящая через точку , вторично пересекает меньшую окружность в точке , а большую — в точке . Найдите площадь треугольника , если .
↓↓ +11 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   07 июн 2013 16:13   «« #12 »»   Ответить


I случай
равнобедренный,
По теореме косинусов вычислим

Так как , то
Найдем значение при помощи формулы , положи в и используя положительность синуса этого угла.

Теперь найдем площадь по формуле :


II случай
Все вычисления из I случая распространяются и на II, за исключением завершающего шага, в котором .


Таким образом, площадь равна либо , либо .
↓↓ +27 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   07 июн 2013 16:55   «« #13 »»   Ответить


Прошу прощение, упустил умножение на .
Концовку следует читать следующим образом.

Теперь найдем площадь  по формуле :


II случай
Все вычисления из I случая распространяются и на II, за исключением завершающего шага, в котором .

Таким образом, площадь  равна либо , либо .
↓↓ +16 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   07 июн 2013 18:34   «« #14 »»   Ответить


В предпоследней строчке опечатка: вместо числа должно быть .
↓↓ +3 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   08 июн 2013 14:38   «« #15 »»   Ответить


C6
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по , по и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число , выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число , а остальные числа, равные , стираются. Например, если задуманы числа , то на доске будет записан набор .
а) Приведите пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор .
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор .
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор .
↓↓ +13 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   08 июн 2013 14:50   «« #16 »»   Ответить


а)
Можно, например, задумать числа .
Так как все задуманные числа одинаковые, то на результат сложения оказывает влияние только количество чисел, участвующих в сумме. Количество единиц может меняться от до , а значит в сумме получатся все числа от до и никаких других.

б)
Не существует.
Последнее число набора может получиться только за счет сложения всех задуманных чисел. Предпоследнее число набора получается за счет сложения всех задуманных чисел без самого меньшего или одного из самых меньших, если их несколько. Меньшее задуманное число равняется , так как стоит на первом месте набора. Следовательно, предпоследним числом в наборе должно быть , тогда как в наборе на этом месте находится , что и приводит к противоречию.

в)
или
После каждого логического вывода будут записываться накопившиеся задуманные числа.

Наименьшее число набора совпадает с наименьшим задуманным числом.

Второе число из набора не может быть получено из уже имеющегося , а значит тоже является задуманным.

Третье число тоже следует добавить в список задуманных, так как для его получения нельзя добавить ни , ни .


Для получения числа , стоящего следующим в наборе, можно найти два способа.

Способ №1.
Число могло быть получено за счет наличия его самого в списке задуманных.

Для этих чисел произведем проверку совпадения с набором из условия.



Полученный набор полностью совпадает с набором из условия, и мы перебрали все возможные суммы.

Способ №2.
Число можно получить за счет сложения наименьшего задуманного числа с еще одним таким же.

Тогда для получения максимального числа набора , которое получается путем сложения всех задуманных чисел, нужно в список задуманных добавить еще число , так как .

Из этих чисел получаются все те же числа, что и из случая №1. Для этого достаточно всегда задействовать в суммах две из трех семерок вместе.
Новых чисел, отсутствующих в наборе, тоже не возникает, потому что участие в суммах двух семерок эквивалентно участию числа , а трех семерок — участию чисел и . То есть получаемый набор полностью совпадает с набором из случая №1.

Другими способами число не могло быть получено , так как в списке задуманных не могло присутствовать число, меньшее, чем .
↓↓ +30 ↑↑   Вуль Владислав Аркадьевич (186326 / 8408)   09 июн 2013 00:26   «« #17   Ответить


Вопрос-Ответ  →  Раздел «Математика, физика, информатика, экономика»  →  Тема «ЕГЭ 2013 по математике 3 июня. Разбор задач части С.»

Чтобы ответить на конкретное сообщение, нужно нажать на ссылку «ответить» справа под самим сообщением.
Эта форма — для ответов на исходное сообщение темы (на всю тему в целом).

Ваше имя (ФИО)
Email
Текст ответа
Мобильная версия © 2005–2018 «Ваш репетитор» – Москва 88005057283
88005057284