Ваш репетитор
 



8 (495) 540-56-76
8 (800) 555-56-76
Часы работы:
с 06:00 до 22:00


«Ваш репетитор» рекомендует:

Литвин
Иосиф Залманович
математика, высшая математика, математический анализ, теория вероятностей Кандидат физико-математических ...

Плохов
Дмитрий Игоревич
математика, физика, высшая математика Кандидат физико-математических наук. Окончил ...

Приходько
Александр Яковлевич
репетитор по математике, химии Кандидат химических наук (1983 г.). Образование: МГУ им. М.В. Ломоносова, ...

Курьянович
Эдуард Анатольевич
математика, физика, высшая математика, математический анализ Образование: МИФИ, факультет экспериментальной ...

Иванова
Татьяна Владимировна
репетитор по математике, физике Кандидат физико-математических наук (2001 ...

Мешков
Марк Игоревич
математика, физика, высшая математика, математический анализ Выпускник Московского государственного университета ...

Русанова
Ксения Владимировна
репетитор по математике МГУ им. М.В. Ломоносова, экономический факультет, экономист (2003 г.).  ...

Тарасюк
Григорий Михайлович
репетитор по математике, физике Образование: 2015 — НИЯУ МИФИ, факультет ...



Лучшие преподаватели по математике

Богданов
Олег Николаевич
математика, физика, высшая математика, математический анализ Образование: СПбГУ, физический факультет, ...

Мухин
Геннадий Валентинович
математика, физика, высшая математика, математический анализ Кандидат технических наук. Образование: ...

Вуль
Владислав Аркадьевич
математика, высшая математика, математический анализ Образование: аспирантура кафедры механики ...

Тарасюк
Григорий Михайлович
репетитор по математике, физике Образование: 2015 — НИЯУ МИФИ, факультет ...


Задачи по геометрии: планиметрия.

1. Задача.
Отрезки AB и CD равны по длине и не параллельны. Найти геометрическое место всех точек M таких, что площадь треугольника AMB равна площади треугольника CMD.

1. Решение.
Пусть O - точка пересечения прямых AB и CD. Обозначим через lпрямую, содержащую биссектрису угла AOC, а через m - прямую, перпендикулярную l и проходящую через точку O (т.е. l и m - прямые, содержащие биссектрисы вертикальных углов, образующихся при пересечении прямых (AB) и (СD)). Искомым геометрическим местом точек будет объединение прямых l и m без точки O. В самом деле, для любой точки M, лежащей на одной из биссектрисс, расстояние от нее до прямых (AB) и (CD) одинаково, следовательно, высоты треугольников AMB и CMD равны, а основания AB и CD равны по условию. Поэтому площади треугольников AMB и AMD равны. Для произвольной точки M, не лежащей ни на одной из биссектрисс площади треугольников AMB и CMDне равны, так как в этом случае у этих треугольников равные основания, но разные высоты. Точка O не принадлежит искомому геометрическому месту точек, так как если точка M совпадает с точкой O, то треугольники не образуются.



2. Задача.
В окружности проведена хорда; и через один из концов хорды проходит касательная к окружности. Вычислить угол, составленный касательной и хордой, если хорда делит окружность в отношении 5:7.

2. Решение.
Пусть O - центр данной окружности и AB - ее хорда. Обозначим через x1/5 угловой величины меньшей из дуг с концами в точках A и B. Тогда величина большей из дуг равна 7x, а так как объединение этих двух дуг есть полная окружность, 5x + 7x = 360°, откуда x = 30°. Следовательно, величина меньшего из углов AOB равна 150°, а тогда из рассмотрения равнобедренного треугольника ABO получаем, что угол BAO равен 15°. Касательная к окружности, проходящая через точку A, перпендикулярна радиусу OA и, следовательно, образует с хордой AB угол 75°.

2. Ответ: Ответ: 75°.



3. Задача.
Стороны данного треугольника имеют длины a = 7, b = 9, c = 15. Возможно ли составить треугольник, сторонами которого являются высоты данного треугольника?

3. Решение.
Пусть ha, hb, hc - высоты данного треугольника, проведенные к сторонам a, b, c соответственно. Тогда a·ha = b·hb = c·hc = 2SD, откуда

hc =   aha
c
  =   7
15
ha;    hb =   aha
b
  =   7
9
ha.
Таким образом, из трех отрезков ha, hb, hc отрезок ha - наибольший, кроме того
hb+hc =   56
45
ha > ha,
поэтому из отрезков ha, hb, hc можно составить треугольник.



4. Задача.
Площадь треугольника, один из углов которого равен разности двух других, равна площади квадрата, сторона которого совпадает с одной из сторон этого треугольника. Найти углы данного треугольника.

4. Решение.
Пусть a, b, g - углы данного треугольника и пусть a = b-g. Поскольку a+b+g = p, получаем g-b+b+g = p, откуда g = p/2, т.е. данный треугольник является прямоугольным.

Обозначим через a, b, c - длины сторон, противолежащих углам a, b, g соответственно. Тогда SD = ab/2. По условию, выполняется одно из трех равенств: SD = a2, или SD = b2, или SD = c2. Однако SD = ab/2 < cc/2 < c2, поэтому SD = a2 или SD = b2. Пусть, для определенности SD = a2. Отсюда a2 = ab/2, т.е. b = 2a. Кроме того, a2+b2 = c2, поэтому 5a2 = c2, т.е. a = c/ Ц5, b = 2c/ Ц5, отсюда sina = a/c = 1/ Ц5, sinb = b/c = 2/ Ц5.

4. Ответ:

a = arcsin 1
Ц5
, b = arcsin 2
Ц5
, g = p/2.




5. Задача.
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, заключенная между ними, равна 5.

5. Решение.
Задачи по геометрии. Решения. Пусть M - середина стороны BC треугольника ABC и |AB| = 6, |AC| = 8 и |AM| = 5. Достроим данный треугольник до параллелограмма ABDC (см.рис.). Из равенства треугольников AMC и BMD получаем SABC = SABD. Треугольник ABD прямоугольный, покольку 62+82 = 102. Отсюда искомая площадь равна 24. Ответ: SABC = 24.





6. Задача (9 кл.)
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота CH. Из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на стороны BC и AC соответственно. Доказать, что треугольники ABC и CNM подобны.

6. Решение.
Построим окружность на отрезке CH как на диаметре. Точки M и N окажутся лежащими на этой окружности как вершины прямых углов, опирающихся на диаметр. Тогда РACH = РHMN как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Поскольку DACH прямоугольный, имеем РHAC = 90°-РHCA, откуда РNMC = 90° - РHMN = 90°-РHCA = РHAC. Угол ACB в треугольниках ABC и CNM общий, и, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам.



7. Задача (9 кл.)
В правильном восьмиугольнике ABCDEFGH точка K - середина стороны EF, а M - середина CD. Найти угол между прямыми AK и GM.

7. Решение.
При повороте восьмиугольника на угол 90° относительно точки пересечения его диагоналей он переходит сам в себя, причем точка K переходит в точку M, а точка A переходит в точку G. Таким образом, после поворота прямая (AK) переходит в прямую (GM), а, значит, до поворота угол был равен 90°.



8. Задача (10 кл.)
В прямоугольном треугольнике ABC (РC = 90°) с катетами 3 и 4 провели высоту CH. В получившиеся треугольники ACH и BCH вписали две окружности, которые касаются CH в точках K и L. Найти длину отрезка KL.

8. Решение.
Решения задач по геометрии Пусть |AC| = 4 и |BC| = 3. Тогда |BH| = 9/5 и |AH| = 16/5. Обозначим через r1 и r2 (r1 > r2) радиусы окружностей, вписанных соответственно в треугольники ACH и BCH. Нетрудно заметить, что расстояние между точками касания этих окружностей с высотой [CH] равно разности r1-r2. Известно, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен разности между полупериметром этого треугольника и его гипотенузой. Отсюда r1-r2 = (|BC|+|AH|-|AC|-|BH|)/2 = 0,2.

8. Ответ: |KL| = 0,2.



9. Задача.
На основании равнобедренного треугольника, равном 8, как на хорде, построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найти радиус окружности, если длина высоты, проведенная к основанию треугольника, равна 3.

9. Решение.
Прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, является и его медианой, следовательно, она является срединным перпендикуляром к хорде, и поэтому проходит через центр окружности. Обозначим исходный треугольник через ABC (AC - основание), через M - середину AC, через O - центр окружности. В прямоугольном треугольнике BOC высота CM является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу, поэтому |MO| = |MC|2/|BM| = 16/3. Из прямоугольного треугольника OCM по теореме Пифагора получаем, что |OC|2 = |OM|2+|MC|2 = (20/3)2.

9. Ответ: радиус равен 20/3.



10. Задача.
Площадь ромба равна S, а сумма его диагоналей равна m. Найти сторону ромба.

10. Решение.
Обозначим искомую сторону ромба через a, а половины диагоналей через b и c. Тогда S = 2bc и m = 2(b+c). Получаем
a2 = b2+c2 = (b+c)2-2bc = m2
4
-S.

10. Ответ: a = (m2/4-S)1/2.



Мобильная версия © 2005–2019 «Ваш репетитор» – Москва 88005057283
88005057284