Ваш репетитор
 



8 (495) 540-56-76
8 (800) 555-56-76
Часы работы:
с 06:00 до 22:00


«Ваш репетитор» рекомендует:

Мещеряков
Дмитрий Владимирович
репетитор по математике, физике Кандидат физико-математических наук (1985 ...

Сычев
Юрий Дмитриевич
математика, физика, высшая математика Кандидат технических наук (1975 г.). Образование: ...

Романова
Ирина Александровна
репетитор по математике Образование: Московский педагогический университет, факультет практической ...

Казарян
Георгий Яковлевич
репетитор по математике Образование: мехмат МГУ (1972 г.). Преподавательская деятельность по разделам ...

Кузнецова
Наталия Юрьевна
репетитор по математике Образование: МГГУ (МГОПУ) им. М.А. Шолохова, физико-математический факультет, ...

Рыбаченко
Светлана Васильевна
репетитор по математике Образование: МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, ...

Зобнин
Александр Игоревич
математика, высшая математика, математический анализ, теория вероятностей Кандидат физико-математических ...

Зуянов
Виктор Иванович
репетитор по математике, высшей математике Окончил в 1972 году машиностроительный факультет ...



Лучшие преподаватели по математике

Окин
Анатолий Александрович
математика, физика, информатика Окончил МГУ им. М.В. Ломоносова, специальность ...

Зироян
Маня Альбертовна
математика, высшая математика, математический анализ, теория вероятностей Кандидат физико-математических ...

Тамаров
Дмитрий Анатольевич
репетитор по математике Образование: Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, ...

Русин
Виктор Александрович
математика, физика, информатика Образование: Московский институт экономики, ...


Уравнения и неравенства с модулем

1. Решить уравнение
|x - 2| + |3 + x| = 2x +  1.

1. Решение.
Рассмотрим промежуток x < -3. На этом промежутке x + 3 < 0 и x - 2 < 0, поэтому |x + 3| = -x - 3 и |x - 2| = 2 - x. Следовательно, на указанном промежутке уравнение принимает вид -1 - 2x = 2x + 1, откуда x = -1/2. Найденное значение не принадлежит рассматриваемому промежутку, поэтому при x < -3 уравнение решений не имеет.

При -3 Ј x < 2 имеем |x + 3| = x + 3 и |x - 2| = 2 - x, поэтому наше уравнение имеет на этом промежутке вид 5 = 2x + 1, откуда x = 2. И полученное значение не входит в рассматриваемый промежуток, следовательно, при -3 Ј x < 2 данное уравнение также не имеет решения.

Пусть x і 2. Тогда |x + 3| = x +3 и |x - 2| = x - 2, и уравнение принимает вид 2x + 1 = 2x + 1. Это равенство очевидно выполнено при любом x, поэтому все числа из рассматриваемого промежутка являются решениями.

1. Ответ: x О [2, Ґ).



2. Решить неравенство (9 кл.)
  4
(x-2)2
  +   12x
|2-x|
  + 9x2 > 0.

2. Решение.
Область допустимых значений этого неравенства состоит из всех x 2.
Так как |x-2|2 = (x-2)2, в левой части стоит полный квадрат суммы. Следовательно, неравенство можно записать в виде
ж
з
и
2
|x-2|
+ 3x ц
ч
ш
2

 
> 0.      (1)

Поскольку квадрат не может быть отрицательным числом, решениями неравенства (1) являются все допустимые x, кроме тех, при которых левая часть оказывается равной нулю. Такие x находятся из уравнения
2
|x-2|
+ 3x = 0,

равносильного в области допустимых значений уравнению
3x|x-2| + 2 = 0.     (2)

Пусть x < 2. Тогда уравнение (2) имеет вид 3x2 - 6x - 2 = 0, откуда
x = 3+(15)1/2
3
    или     x = 3-(15)1/2
3
.
Заметим, что (15)1/2 > 3, и, следовательно, первый корень в рассматриваемый промежуток x < 2 не входит. Второй корень в этот промежуток входит, так как является отрицательным числом. Итак, при x < 2 наше уравнение имеет один корень
x = 3-(15)1/2
3
.

Пусть x і 2. Тогда уравнение (2) имеет вид 3x2 - 6x + 2 = 0, откуда
x = 3+(3)1/2
3
    или     x = 3-(3)1/2
3
.

Оба эти корня в рассматриваемый промежуток x і 2 не входят. Окончательно получаем
x 2   и     x 3-(15)1/2
3
.
Мобильная версия © 2005–2018 «Ваш репетитор» – Москва 88005057283
88005057284