1. Решить уравнение
|x - 2| + |3 + x| = 2x + 1.
1. Решение.
Рассмотрим промежуток x < -3. На этом промежутке x + 3 < 0 и x - 2 < 0, поэтому |x + 3| = -x - 3 и |x - 2| = 2 - x. Следовательно, на указанном промежутке уравнение принимает вид -1 - 2x = 2x + 1, откуда x = -1/2. Найденное значение не принадлежит рассматриваемому промежутку, поэтому при x < -3 уравнение решений не имеет.
2. Решить неравенство (9 кл.)
2. Решение.
Область допустимых значений этого неравенства состоит из всех x №2.
Так как |x-2|2 = (x-2)2, в левой части стоит полный квадрат суммы. Следовательно, неравенство можно записать в виде
Поскольку квадрат не может быть отрицательным числом, решениями неравенства (1) являются все допустимые x, кроме тех, при которых левая часть оказывается равной нулю. Такие x находятся из уравнения
равносильного в области допустимых значений уравнению
Пусть x < 2. Тогда уравнение (2) имеет вид 3x2 - 6x - 2 = 0, откуда
Заметим, что (15)1/2 > 3, и, следовательно, первый
корень в рассматриваемый промежуток x < 2 не входит. Второй
корень в этот промежуток входит, так как является отрицательным числом.
Итак, при x < 2 наше уравнение имеет один корень
Пусть x і 2. Тогда уравнение (2) имеет вид 3x2 - 6x + 2 = 0, откуда
Оба эти корня в рассматриваемый промежуток x і 2 не входят. Окончательно получаем
1. Решение.
Рассмотрим промежуток x < -3. На этом промежутке x + 3 < 0 и x - 2 < 0, поэтому |x + 3| = -x - 3 и |x - 2| = 2 - x. Следовательно, на указанном промежутке уравнение принимает вид -1 - 2x = 2x + 1, откуда x = -1/2. Найденное значение не принадлежит рассматриваемому промежутку, поэтому при x < -3 уравнение решений не имеет.
При -3 Ј x < 2 имеем |x + 3| = x + 3 и |x - 2| = 2 - x, поэтому наше уравнение имеет на этом промежутке вид 5 = 2x + 1, откуда x = 2. И полученное значение не входит в рассматриваемый промежуток, следовательно, при -3 Ј x < 2 данное уравнение также не имеет решения.
Пусть x і 2. Тогда
|x + 3| = x +3 и
|x - 2| = x - 2, и уравнение
принимает вид 2x + 1 = 2x + 1.
Это равенство очевидно выполнено при любом x, поэтому все числа из
рассматриваемого промежутка являются решениями.
1. Ответ: x О [2, Ґ).
2. Решить неравенство (9 кл.)
| 4 (x-2)2 |
+ | 12x |2-x| |
+ 9x2 > 0. |
2. Решение.
Область допустимых значений этого неравенства состоит из всех x №2.
Так как |x-2|2 = (x-2)2, в левой части стоит полный квадрат суммы. Следовательно, неравенство можно записать в виде
| ж з и |
2 |x-2| |
+ 3x | ц ч ш |
2 |
> 0. (1) |
Поскольку квадрат не может быть отрицательным числом, решениями неравенства (1) являются все допустимые x, кроме тех, при которых левая часть оказывается равной нулю. Такие x находятся из уравнения
| 2 |x-2| |
+ 3x = 0, |
равносильного в области допустимых значений уравнению
| 3x|x-2| + 2 = 0. (2) |
Пусть x < 2. Тогда уравнение (2) имеет вид 3x2 - 6x - 2 = 0, откуда
| x = | 3+(15)1/2 3 |
или x = | 3-(15)1/2 3 |
. |
| x = | 3-(15)1/2 3 |
. |
Пусть x і 2. Тогда уравнение (2) имеет вид 3x2 - 6x + 2 = 0, откуда
| x = | 3+(3)1/2 3 |
или x = | 3-(3)1/2 3 |
. |
Оба эти корня в рассматриваемый промежуток x і 2 не входят. Окончательно получаем
| x № 2 и | x № | 3-(15)1/2 3 |
. |
