Ваш репетитор
 



8 (495) 540-56-76
8 (800) 555-56-76
Часы работы:
с 06:00 до 22:00


«Ваш репетитор» рекомендует:

Шлычкова
Светлана Васильевна
математика, физика, высшая математика, математический анализ Образование: МГУ им. М.В. Ломоносова, физический ...

Пономарева
Танзиля Хамзяевна
репетитор по математике Кандидат педагогических наук (1992 г.). Доцент (2004). Образование: Пензенский ...

Акимова
Инга Геннадиевна
репетитор по математике, высшей математике Образование: МГУ им. М.В. Ломоносова, факультет ...

Шнырев
Олег Юрьевич
репетитор по математике, физике Кандидат педагогических наук (1996 г.).  ...

Харламов
Сергей Александрович
репетитор по математике, физике Образование: Таганрогский государственный ...

Приходько
Александр Яковлевич
математика, химия, математический анализ Кандидат химических наук (1983 г.). Образование: ...

Медведев
Федор Александрович
репетитор по математике, физике Окончил физический факультет МГУ им. М.В. ...

Тарасюк
Григорий Михайлович
репетитор по математике, физике Образование: НИЯУ МИФИ, факультет теоретической ...



Лучшие преподаватели по математике

Приходько
Александр Яковлевич
математика, химия, математический анализ Кандидат химических наук (1983 г.). Образование: ...

Азин
Юрий Александрович
репетитор по математике Образование: МГУ, механико-математический факультет, отделение механики ...

Зарифян
Сергей Эдуардович
репетитор по математике, физике Окончил Тбилисский государственный университет, ...

Медведев
Федор Александрович
репетитор по математике, физике Окончил физический факультет МГУ им. М.В. ...


Задачи с параметром

1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение
(a - 1)x2 + 2x + a - 1 = 0
имеет ровно один корень?

1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a  1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a
4a2 - 8a = 0,
откуда a = 0 или a = 2.

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.



2. Задача.
Найти все значения параметра a, при которых имеет два различных корня уравнение
x2+4ax+8a+3 = 0.

2. Решение.
Уравнение x2+4ax+8a+3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a2-4(8a+3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a2-8a-3 > 0, откуда
a < 1 –   Ц7
 2
   или    a > 1 +   Ц7
 2


2. Ответ:
a О (-Ґ; 1 –   Ц7
 2
) И (1 +   Ц7
 2
; Ґ).




3. Задача.
Известно, что

f2(x) = 6x-x2-6.

а) Постройте график функции f1(x) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f1(x) и f2(x) имеют единственную общую точку?

3. Решение.
3.а. Преобразуем f1(x) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx+b и y = ax2+bx+c (a 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx+b = ax2+bx+c имеет единственный корень. Используя представление f1 из 3.а, приравняем дискриминант уравнения a = 6x-x2-6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x-a = 6x-x2-6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.



4. Задача.
Найти все значения a, при которых множество решений неравенства x2-2ax-3a і 0 содержит отрезок [3;6].

4. Решение.
Первая координата вершины параболы f(x) = x2-2ax-3a равна x0 = a. Из свойств квадратичной функции условие f(x) і 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем
м
н
о
  a Ј 3,

f(3) = 9-9a і 0,
    м
н
о
  3 < a < 6,

D = 4a2+12a Ј 0,
    м
н
о
  a і 6,

f(6) = 36-15a і 0.

Решением первой системы является множество (-Ґ,1]. Вторая и третья система решений не имеют.

4. Ответ: a О (-Ґ,1].



5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение
x2+2ax-3a+7 = 2x

имеет ровно два решения?

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a2+a-6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.

5. Ответ: 3.



6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a, при которых график функции
f(x) = x2+|ax+2|
a-1
проходит через точку с координатами (-1;1).

6. Решение.
Из условия f(-1) = 1 имеем уравнение

1 = 1+|-a+2|
a-1
,
или, после очевидных преобразований, a-2 = |2-a|. Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.

6. Ответ: a О [2;Ґ).



7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения
x2-2ax+a2-a = 0
больше чем 12?

7. Решение.
Дискриминант уравнения x2-2ax+a2-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 = a2-a. Отсюда x12+x22 = (x1+x2)2-2x1·x2 = 2a2+2a. Решениями неравенства 2a2+2a > 12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a > 2.

7. Ответ: a > 2.



Мобильная версия © 2005–2019 «Ваш репетитор» – Москва 88005057283
88005057284